Morses lemma är ett uttalande som beskriver beteendet hos en jämn eller analytisk verklig funktion i ett område med en icke-degenererad kritisk punkt . Ett av de enkla men viktigaste resultaten av Morse-teorin ; uppkallad efter utvecklaren av teorin och som etablerade detta resultat 1925, den amerikanske matematikern Marston Morse .
Låta vara en funktion av klassen , där , med en punkt som sin icke-degenererade kritiska punkt, det vill säga vid denna tidpunkt differentialen försvinner, och hessian är noll. Sedan, i något område av punkten , finns det ett system av -släta lokala koordinater (karta) med ursprung vid punkten , så att för all jämlikhet [1]
.I det här fallet kallas talet som bestäms av signaturen för den kvadratiska delen av grodden vid punkten indexet för den kritiska punkten för den givna funktionen - ett specialfall av det allmänna begreppet Morseindex .
I närheten av en kritisk punkt av finit multiplicitet finns det ett koordinatsystem där en jämn funktion har formen av ett gradpolynom ( vi kan ta funktionens Taylorpolynom vid en punkt i de ursprungliga koordinaterna). I fallet med en icke-degenererad kritisk punkt förvandlas multipliciteten , och Toujrons sats till Morses lemma [1] [2] .
Låt vara en jämn funktion som har ursprunget till koordinater som sin kritiska punkt, icke-degenererade i variablerna . Sedan, i närheten av punkten , finns det jämna koordinater där
var är någon smidig funktion. Detta uttalande gör det möjligt för oss att reducera studiet av en singularitet (kritisk punkt) för en funktion av variabler till studiet av en singularitet av en funktion av ett mindre antal variabler (nämligen från antalet variabler som är lika med corranken av hessiska av den ursprungliga funktionen) [1] .
Beviset för detta påstående kan utföras genom induktion på n med hjälp av Hadamards lemma eller på annat sätt [1] .
Vanligtvis bevisat genom direkt konstruktion av en diffeomorfism [3] . Ett mer konceptuellt bevis använder Mosers trick [4] .