Morse Lemma

Morses lemma är ett uttalande som beskriver beteendet hos en jämn eller analytisk verklig funktion i ett område med en icke-degenererad kritisk punkt . Ett av de enkla men viktigaste resultaten av Morse-teorin ; uppkallad efter utvecklaren av teorin och som etablerade detta resultat 1925, den amerikanske matematikern Marston Morse .

Formulering

Låta vara en funktion av klassen , där , med en punkt som sin icke-degenererade kritiska punkt, det vill säga vid denna tidpunkt differentialen försvinner, och hessian är noll. Sedan, i något område av punkten , finns det ett system av -släta lokala koordinater (karta) med ursprung vid punkten , så att för all jämlikhet [1] $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{r+2}$ $r\geq 1$ $0\in \mathbb{R} ^{n}$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$ $U$ $0$ ${\displaystyle C^{r))$ $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ $0$ $x\i U$

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\dots +x_{n }^{2}

I det här fallet kallas talet som bestäms av signaturen för den kvadratiska delen av grodden vid punkten indexet för den kritiska punkten för den givna funktionen - ett specialfall av det allmänna begreppet Morseindex . $k$ $f$ $0$ $0$

Variationer och generaliseringar

Toujrons teorem

I närheten av en kritisk punkt av finit multiplicitet finns det ett koordinatsystem där en jämn funktion har formen av ett gradpolynom ( vi kan ta funktionens Taylorpolynom vid en punkt i de ursprungliga koordinaterna). I fallet med en icke-degenererad kritisk punkt förvandlas multipliciteten , och Toujrons sats till Morses lemma [1] [2] . $0$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$ $\mu=1$

Morses lemma med parametrar

Låt vara en jämn funktion som har ursprunget till koordinater som sin kritiska punkt, icke-degenererade i variablerna . Sedan, i närheten av punkten , finns det jämna koordinater där $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$ $0$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $0$

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_ {1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

var är någon smidig funktion. Detta uttalande gör det möjligt för oss att reducera studiet av en singularitet (kritisk punkt) för en funktion av variabler till studiet av en singularitet av en funktion av ett mindre antal variabler (nämligen från antalet variabler som är lika med corranken av hessiska av den ursprungliga funktionen) [1] . $f_0$ $n+m$

Beviset för detta påstående kan utföras genom induktion på n med hjälp av Hadamards lemma eller på annat sätt [1] .

Om bevis

Vanligtvis bevisat genom direkt konstruktion av en diffeomorfism [3] . Ett mer konceptuellt bevis använder Mosers trick [4] .

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings.
↑ A. M. Samoilenko, Om ekvivalensen av en jämn funktion med ett Taylor-polynom i ett område med en kritisk punkt av finit typ, Funkts. analys och dess tillämpningar, 2:4 (1968), s. 63-69.
↑ Milnor, J. Morse teori / Per. från engelska. V. I. Arnold . - 1965. - 184 sid.
↑ Palais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter för differentierbara mappningar. — M. : MTsNMO , 2009. — 672 sid. - ISBN 978-5-94057-456-9 .

Darinsky B.M., Sapronov Yu .

Zorich V. A. Matematisk analys.

Milnor, J. Morse Teori / Per. från engelska. V. I. Arnold . - 1965. - 184 sid.

Milnor, J. Morse Teori / Per. från engelska. V. I. Arnold . - 1965. - 184 sid.

Hirsch M. Differentiell topologi / Per. från engelska. D.B. Fuks .. - M . : Mir, 1979. - 279 sid.

Takens F. En notering om jets tillräcklighet. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, nr 3, 1971, sid. 225-231.

Pavlova N.G., Remizov A.O. En introduktion till singularitetsteori . - M. : MIPT, 2022. - 181 sid. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .