Liouville nummer
Ett Liouville-tal är ett irrationellt tal som kan approximeras med rationella tal så att det för varje heltal finns oändligt många par heltal ( ) så att:
.
Ett diofantiskt tal [1] är ett irrationellt tal som inte kan representeras på detta sätt, det vill säga när det approximeras med ett rationellt tal är felet åtminstone en viss potens av nämnaren:
.
Enligt Liouvilles algebraiska nummerapproximationssats är varje algebraiskt irrationellt tal Diophantine. I synnerhet är därför vilket Liouville-tal som helst transcendentalt , vilket gör det möjligt att explicit konstruera transcendentala tal som summor av supersnabba konvergerande serier av rationella tal.
Diofantiska tal är metriskt typiska: deras uppsättning har fullt Lebesgue-mått . Liouville-tal, tvärtom, är typiska ur topologisk synvinkel: deras uppsättning är residual .
Måttet på irrationalitet för Liouville-tal: dessutom, om måttet på irrationalitet för ett tal är oändligt, så är det Liouville (ibland tas denna egenskap som definitionen av Liouville-tal).
Det klassiska exemplet på ett Liouville-tal är Liouville-konstanten , definierad som:
