Matematisk pendel

En matematisk pendel är en oscillator , som är ett mekaniskt system som består av en materialpunkt i änden av en viktlös outtöjbar tråd eller lätt stav och belägen i ett enhetligt fält av gravitationskrafter [1] . Den andra änden av tråden (staven) är vanligtvis fixerad. Perioden för små naturliga svängningar av en pendel med längden L , upphängd i ett gravitationsfält, är lika med

T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g))

och beror inte, i den första approximationen, på svängningarnas amplitud och pendelns massa . Här är g den fria fallaccelerationen .

Den matematiska pendeln är den enklaste modellen av en fysisk kropp som svänger: den tar inte hänsyn till fördelningen av massa. En verklig fysisk pendel med små amplituder svänger dock på samma sätt som en matematisk pendel med reducerad längd .

Typen av pendelrörelsen

En matematisk pendel med en stång kan bara svänga i ett plan (längs någon utvald horisontell riktning) och är därför ett system med en frihetsgrad . Om stången ersätts av en outtöjbar gänga kommer ett system med två frihetsgrader att erhållas (eftersom svängningar längs två horisontella koordinater blir möjliga).

När den oscillerar i ett plan rör sig pendeln längs en cirkelbåge med radie , och i närvaro av två frihetsgrader kan den beskriva kurvor på en sfär med samma radie [1] . Ofta, även när det gäller en glödtråd, begränsar man sig till analysen av planrörelse; det övervägs vidare. $L$

Pendelekvationen

Om vi pekar ut den tangentiella komponenten ( ) i posten av Newtons andra lag för en matematisk pendel , får vi uttrycket $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ $ma_{\tau }=F_{\tau })$

mL{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta

eftersom , och av gravitations- och spänningskrafterna som verkar på punkten, ger endast den första komponenten en icke-nollkomponent. Följaktligen beskrivs pendelns oscillationer av en vanlig differentialekvation (DE) av formen $a_{\tau }={\dot {v}}=d/dt(Ld\theta /dt)$ ${\displaystyle F_{\tau ))$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0

där den okända funktionen är pendelns avvikelsevinkel för tillfället från den nedre jämviktspositionen, uttryckt i radianer, är upphängningens längd och är den fria fallaccelerationen . Det antas att det inte finns några energiförluster i systemet. I området för små vinklar blir denna ekvation $\theta (t)$ $t$ $L$ $g$ $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0

För att lösa andra ordningens DE, det vill säga för att bestämma pendelns rörelselag, är det nödvändigt att ställa in två initiala villkor - vinkeln och dess derivata vid . $\theta$ ${\dot {\theta ))$ $t=0$

Lösningar på rörelseekvationen

Möjliga typer av lösningar

I det allmänna fallet kan lösningen av DE med de initiala villkoren för pendeln erhållas numeriskt. Rörelsealternativ (om pendeln är en materiell punkt på en ljusstav), kvalitativt, presenteras i animationen. I varje fönster visas vinkelhastighetens beroende av vinkeln överst . När svingen ökar avviker pendelns beteende mer och mer från regimen för harmoniska svängningar. ${\dot {\theta ))$ $\theta$

pendel hängande
Små fluktuationer (spännvidd 45°)
Svängningar med ett spännvidd på 90°
Svängningar med ett spännvidd på 135°
Svängningar med ett spännvidd på 170°
Fixering i övre läge
Rörelse nära separatrix
pendelrotation

Harmoniska vibrationer

Ekvationen för små oscillationer av pendeln nära den nedre jämviktspositionen, när ersättningen är lämplig , kallas den harmoniska ekvationen: $\sin \theta \approx \theta$

{\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0

där en positiv konstant bestäms endast från pendelns parametrar och har betydelsen av den naturliga svängningsfrekvensen . Dessutom kan en övergång göras till variabeln "horisontell koordinat" (axeln ligger i svängplanet och är ortogonal mot gängan i bottenpunkten): $\omega _{0}={\sqrt {g/L))$ $x=L\sin \theta \approx L\theta$ $x$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Pendelns små svängningar är harmoniska . Detta innebär att pendelns förskjutning från jämviktspositionen förändras med tiden enligt den sinusformade lagen [2] :

x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )

där är amplituden för pendelsvängningarna, är den initiala fasen av svängningarna. $A$ $\alfa$

Om vi använder variabeln , då är det nödvändigt att ställa in koordinaten och hastigheten , vilket gör att vi kan hitta två oberoende konstanter , från relationerna och . $x$ $t=0$ $x_{0}$ ${\displaystyle v_{x0))$ $A$ $\alfa$ $x_{0}=A\sin \alpha$ $v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha$

Fallet med icke-linjära oscillationer

För en pendel som svänger med stor amplitud är rörelselagen mer komplicerad:

\sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatörsnamn {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),

var är den Jacobian sinus . För det är en periodisk funktion, för liten sammanfaller den med den vanliga trigonometriska sinusen. $\operatörsnamn {sn}$ $\varkappa<1$ $\varkappa$

Parametern definieras av uttrycket $\varkappa$

\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E} {mL^{2}}}

Svängningsperioden för en olinjär pendel är

T={\frac {2\pi }{\Omega )),\quad \Omega ={\frac {\pi}{2)){\frac {\omega _{0)){K(\ varkappa)}}

där K är en elliptisk integral av det första slaget.

För beräkningar är det praktiskt taget bekvämt att expandera den elliptiska integralen i en serie:

T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\ frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!} }\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots \right\}

där är perioden för små svängningar, är den maximala vinkeln för avvikelse för pendeln från vertikalen. $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))}$ $\theta _{0}$

Vid vinklar upp till 1 radian (≈ 60°), med acceptabel noggrannhet (fel mindre än 1%), kan vi begränsa oss till den första approximationen:

T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right )\höger)

Den exakta periodformeln, med kvadratisk konvergens för vilken vinkel som helst med maximal avvikelse, diskuteras i septembernumret 2012 av American Mathematical Society Notes [3] :

T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g }}}

var är det aritmetiskt-geometriska medelvärdet av talen 1 och . $M(s)$ $s$

Rörelse längs separatrix

Pendelns rörelse längs separatrixen är icke-periodisk. I ett oändligt avlägset ögonblick börjar den falla från den extrema övre positionen i någon riktning med noll hastighet, plockar gradvis upp den och stannar sedan och återgår till sin ursprungliga position.

Fakta

Trots sin enkelhet är den matematiska pendeln förknippad med ett antal intressanta fenomen.

Om amplituden för pendelsvängningen är nära , det vill säga pendelns rörelse på fasplanet är nära separatrixen , uppvisar systemet ett kaotiskt beteende under inverkan av en liten periodisk drivkraft . Detta är ett av de enklaste mekaniska systemen där kaos uppstår under påverkan av en periodisk störning [4] . $\pi$
Om upphängningspunkten inte är fixerad, utan svänger, kan pendeln ha ett nytt jämviktsläge. Om upphängningspunkten fluktuerar upp och ner tillräckligt snabbt, får pendeln ett stabilt upp och ner läge. Ett sådant system kallas Kapitza-pendeln .
Under jordens rotationsförhållanden, med en tillräckligt lång upphängningstråd, kommer planet i vilket pendeln oscillerar långsamt att rotera relativt jordytan i motsatt riktning mot jordens rotationsriktning ( Foucaults pendel ).

Anteckningar

↑ 1 2 Chefredaktör A. M. Prokhorov. Pendel // Physical Encyclopedic Dictionary. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1983. (ryska) - Artikel i Physical Encyclopedic Dictionary
↑ Pendelns hastighet och acceleration under harmoniska svängningar förändras också i tiden enligt en sinusform.
↑ Adlaj S. En vältalig formel för omkretsen av en ellips // Meddelanden från AMS . - 2012. - Vol. 59 , nr. 8 . - P. 1096-1097 . — ISSN 1088-9477 .
↑ V. V. Vecheslavov. Kaotiskt lager av en pendel vid låga och medelhöga frekvenser av störningar // Journal of technical physics. - 2004. - T. 74 , nr 5 . - S. 1-5 . Arkiverad från originalet den 14 februari 2017.

Länkar

En samling Java-applets som modellerar beteendet hos matematiska pendlar, i synnerhet Kapitza-pendeln .
Java-applet som simulerar svängningen av en matematisk pendel i närvaro av viskös friktion med fasbana plottning .
Pedagogisk film "Matematisk och fysisk pendel", produktion av Sovjetunionen