Dirac matriser

Dirac-matriser (även kända som gammamatriser ) är en uppsättning matriser som uppfyller speciella antikommutationsrelationer. Används ofta inom relativistisk kvantmekanik.

Definition

Dirac-matriser är vilken uppsättning matriser som helst som uppfyller ekvationen

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu }\gamma ^ {\mu }=2\eta ^{\mu \nu }Jag,

där är Minkowski-måttet för signaturen I är identitetsmatrisen, lockiga hängslen anger antikommutatorn . $\eta ^{\mu \nu }$ $\left(+---\right),$

Ett möjligt sätt att välja Dirac-matriser i 4D-rymden är följande:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{ bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

(Dirac-representationer; Weyl- och Majorana- representationer används också ).

Femte gammamatrisen, $\gamma ^{5}$

Det är användbart att definiera produkten av fyra gammamatriser enligt följande:

\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\ \0&1&0&0\end{bmatrix}}

(i representationen av Dirac).

$\gamma ^{5}$ kan skrivas i en alternativ form:

\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },

var är Levi-Civita-tensorn . ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta ))$

Denna matris är användbar när man diskuterar kiralitet inom kvantmekanik. Sålunda kan Dirac-spinorfältet projiceras på dess vänstra eller högra komponent:

\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5 }}{2}}\psi

Några egenskaper : $\gamma ^{5}$

Hermititet :

(\gamma ^{5})^{\dolk }=\gamma ^{5}.

Egenvärdena är ±1 pga

(\gamma ^{5})^{2}=I.

Antipendling med fyra andra gammamatriser:

\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu}+\gamma ^{\mu}\gamma ^ {5}=0.

Blockstruktur

Dirac-matriserna kan skrivas kompakt som blockmatriser med hjälp av Pauli-matriserna σ 1 , σ 2 , σ 3 , kompletterade med identitetsmatrisen I . Enligt Dirac:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1 }\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.

I Weil- representationen förblir de desamma, men skiljer sig, därför ändrade de också: ${\displaystyle \gamma ^{k))$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\ \-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix)).

Weyl-representationen har fördelen att kirala projektioner tar en enkel form:

\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\ psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}} \psi.

Det finns också en representation av Majorana , där alla gammamatriser är imaginära och spinorer är verkliga:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\ börja{bmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{bmatrix}}

\gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{3}={ \begin{bmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma ^ {2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{bmatrix}}.

I modern vetenskap är huvudegenskapen den definierande egenskapen för gammamatriser, och inte deras numeriska representation.

Identiteter

Nej.	Identitet
ett	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu ))$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
fyra	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma } \gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu ))$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu}\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\ gamma ^{5}$

Nej.	Identitet
0	$\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu })=0$
ett	Varje produkt av ett udda tal har ett nollspår. ${\displaystyle \gamma _{\mu ))$
2	${\displaystyle \operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu ))$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu } \eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
fyra	$\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{5})=\operatörsnamn {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{ \mu \nu \rho \sigma }$

Firtz-identiteterna gäller även för Dirac-matriser .

Definitionen av gammamatriser är generaliserad till utrymmen med andra dimensioner, där deras antal kan skilja sig åt.

Se även

Litteratur

Zee E. Kvantfältteori i ett nötskal. - Izhevsk: RHD, 2009. - 632 sid.
Peskin M., Schroeder D. Introduktion till kvantfältteori. - Izhevsk: RHD, 2002. - 784 sid.
W. Pauli. Bidrag mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (franska) // Ann. Inst. Henri Poincare :tidskrift. - 1936. - Vol. 6 . — S. 109 .