Gauss-Seidel metod för att lösa ett system av linjära ekvationer

Gauss-Seidel-metoden (Seidel-metoden, Libman-processen, successiv substitutionsmetod) är en klassisk iterativ metod för att lösa ett system av linjära ekvationer .

Uppkallad efter Seidel och Gauss .

Förklaring av problemet

Ta systemet: , där $A\vec{x}=\vec{b}$ $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \ end{array} \right),\quad \vec{b}=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{array} \right)$

Eller $\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n& = & b_{1} \\ & &\\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn }x_n & = & b_{n} \end{array} \right.$

Och vi kommer att visa hur det kan lösas med Gauss-Seidel-metoden.

Metod

För att klargöra essensen av metoden skriver vi om problemet i formuläret

\left\{ \begin{array}{lcr} a_{11}x_1 & = &-a_{12}x_2 - a_{13}x_3 -\ldots - a_{1n}x_n + b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & = & -a_{23}x_3 - \ldots - a_{2n}x_n + b_2\\ \ldots & &\\ a_{(n-1)1}x_1 + a_{(n- 1)2}x_2 +\ldots+ a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1} & = & -a_{(n-1)n}x_n + b_{n-1}\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +\ldots+ a_{n(n-1)}x_{n-1}+ a_{nn}x_n & = & b_n \end{array} \right.

Här, i den e ekvationen, har vi överfört till höger sida alla termer som innehåller , för . Denna post kan representeras som $j$ $x_{i}$ $i>j$

(\mathrm{L} + \mathrm{D} )\vec{x} = -\mathrm{U} \, \vec{x} + \vec{b},

där, i den accepterade notationen, betyder en matris vars huvuddiagonal innehåller motsvarande element i matrisen och alla andra nollor; medan matriserna och innehåller övre och nedre triangulära delar , på huvuddiagonalen som är nollor. $\mathrm{D}$ $A$ $\mathrm{U}$ $\mathrm{L}$ $A$

Den iterativa processen i Gauss-Seidel-metoden är uppbyggd enligt formeln

(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k) }+{\vec {b)],\quad k=0,1,2,\ldots

efter att ha valt lämplig initial uppskattning . $\vec{x}^{(0)}$

Gauss-Seidel-metoden kan ses som en modifiering av Jacobi-metoden . Huvudtanken med modifieringen är att nya värden används här så snart de tas emot, medan de i Jacobi-metoden inte används förrän nästa iteration: $\vec{x}^{(i)}$

\left\{\begin{array}{cccccccccccc} {x_{1}}^{(k+1)} &=& c_{12}{x_2^{(k))) &+& c_{13}x_3 ^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{1n}{x_n}^{(k)} &+& d_1 \\ {x_{2}}^{(k+1)} & =& c_{21}{x_1^{(k+1)}} &+& c_{23}x_3^{(k)}&+& {\ldots}&+& c_{2n}{x_n}^{ (k)} &+& d_2 \\ \ldots & & & & & & & & & & \\ {x_{n}}^{(k+1)} &=& c_{n1}{x_1^{( k+1)}} &+& c_{n2}{x_2^{(k+1)}}&+& {\ldots}&+& c_{n(n-1)}{x_{n-1} }^{(k+1)} &+& d_n \end{array}\right.,

var

c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases} }\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.

Således beräknas den i -te komponenten av den -e approximationen med formeln $(k+1)$

x_{i}^{(k+1)}=\summa _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\summa _ {j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.

Till exempel när : $n=3$

x_{1}^{{(k+1)}}=\summa _{{j=1}}^{{1-1}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\summa _{{j=1}}^{{3}}c_{{1j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{1}

, det är

x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13} x_{3}^{(k)}+d_{1},

x_{2}^{{(k+1)}}=\summa _{{j=1}}^{{2-1}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\summa _{{j=2}}^{{3}}c_{{2j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{2}

, det är

x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{ 23}x_{3}^{(k)}+d_{2},

x_{3}^{{(k+1)}}=\summa _{{j=1}}^{{3-1}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k +1)}}+\summa _{{j=3}}^{{3}}c_{{3j}}x_{{j}}^{{(k)}}+d_{3}

, det är

x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+ c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.

Konvergensvillkor

Låt oss presentera ett tillräckligt villkor för metodens konvergens.

Teorem .
Låt, varär matrisen invers till. Sedan för valet av initial uppskattning:

\|\mathrm {A} _{2}\|<1

\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\ mathrm {D} )^{-1}

(\mathrm {L} +\mathrm {D} )

\vec{x}^{(0)}

Gauss-Seidel-metoden konvergerar;
metodens konvergenshastighet är lika med konvergenshastigheten för en geometrisk progression med nämnaren ; $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$
korrekt feluppskattning: . $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0) }-{\vec {x}}\|$

Uppsägningsvillkor

Villkoret för att avsluta Seidel iterativa processen när noggrannhet uppnås i en förenklad form har formen: $\varepsilon$

\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \varepsilon

Ett mer exakt villkor för att avsluta den iterativa processen har formen

\parallell Ax^{(k)}-b\parallell \le \varepsilon

och kräver mer beräkning. Bra för glesa matriser .

Implementeringsexempel i C++

#include <iostream> #inkludera <cmath> använder namnutrymme std ; // Slutvillkor bool konvergera ( dubbel xk [ 10 ], dubbel xkp [ 10 ], int n , dubbel eps ) { dubbel norm = 0 ; för ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) norm += ( xk [ i ] - xkp [ i ]) * ( xk [ i ] - xkp [ i ]); return ( sqrt ( norm ) < eps ); } dubbel okr ( dubbel x , dubbel eps ) { int i = 0 ; dubbla neweps = eps ; medan ( neweps < 1 ) { i ++ ; neweps *= 10 ; } int okr = pow ( dubbel ( 10 ), i ); x = int ( x * okr + 0,5 ) / dubbel ( okr ); returnera x ; } bool diagonal ( dubbel a [ 10 ][ 10 ], int n ) { int i , j , k = 1 ; dubbel summa ; för ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { summa = 0 ; för ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) summa += abs ( a [ i ][ j ]); summa -= abs ( a [ i ][ i ]); if ( summa > a [ i ][ i ]) { k = 0 _ cout << a [ i ][ i ] << " < " << summa << endl ; } annan { cout << a [ i ][ i ] << " > " << summa << endl ; } } return ( k == 1 ); } int main () { setlocale ( LC_ALL , "" ); dubbel eps , a [ 10 ][ 10 ], b [ 10 ], x [ 10 ], p [ 10 ]; int n , i , j , m = 0 ; int metod _ cout << "Ange storleken på den kvadratiska matrisen: " ; cin >> n ; cout << "Ange beräkningsprecisionen: " ; cin >> eps ; cout << "Fyll i matris A: " << endl << endl ; för ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) för ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = " ; cin >> a [ i ][ j ]; } cout << endl << endl ; cout << "Din matris A är: " << endl << endl ; för ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { för ( j = 0 ; j < n ; j ++ ) cout << a [ i ][ j ] << " " ; cout << endl ; } cout << endl ; cout << "Fyll i kolumnen för gratismedlemmar: " << endl << endl ; för ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) { cout << "B[" << i + 1 << "] = " ; cin >> b [ i ]; } cout << endl << endl ; /* Metodens framsteg, där: a[n][n] - Matris av koefficienter x[n], p[n] - Nuvarande och tidigare lösningar b[n] - Kolumn av högra delar Alla ovanstående arrayer är verkliga och måste definieras i huvudprogrammet, även i arrayen x[n] bör du sätta initialen approximation av lösningskolumnen (t.ex. alla nollor) */ för ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) x [ i ] = 1 ; cout << "Diagonal dominans: " << endl ; if ( diagonal ( a , n )) { do { för ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) p [ i ] = x [ i ]; för ( int i = 0 ; i < n ; i ++ ) { dubbel var = 0 ; för ( int j = 0 ; j < n ; j ++ ) if ( j != i ) var += ( a [ i ][ j ] * x [ j ]); x [ i ] = ( b [ i ] -var ) / a [ i ] [ i ]; } m ++ ; } while ( ! konvergera ( x , p , n , eps )); cout << "Systembeslut:" << endl << endl ; för ( i = 0 ; i < n ; i ++ ) cout << "x" << i << " = " << okr ( x [ i ], eps ) << "" << endl ; cout << "Iterations: " << m << endl ; } annat { cout << "Ingen diagonal dominans" << endl ; } system ( "paus" ); returnera 0 ; }

Implementeringsexempel i Python

importera numpy som np def seidel ( A , b , eps ): n = len ( A ) x = np . nollor ( n ) # nollvektor converge = Falskt medan det inte konvergerar : x_new = np . kopia ( x ) för i i intervall ( n ): s1 = summa ( A [ i ][ j ] * x_new [ j ] för j i intervall ( i )) s2 = summa ( A [ i ][ j ] * x [ j ] för j i intervallet ( i + 1 , n )) x_new [ i ] = ( b [ i ] - s1 - s2 ) / A [ i ][ i ] konvergera = np . sqrt ( summa (( x_new [ i ] - x [ i ]) ** 2 för i inom intervallet ( n ))) <= eps x = x_new tillbaka x

Se även

Anteckningar

Länkar

Metoder för att lösa SLAE
Direkta metoder	Matrismetod Gauss metod Gauss-Jordan-metoden Cramer metod LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning Sopa metod
Iterativa metoder	Jacobi metod Gauss-Seidel-metoden Iterationsmetod Avslappningsmetod Konjugerad gradientmetod Bikonjugerad gradientmetod Stabiliserad bikonjugatgradientmetod
Allmän	invers matris Projektionsmetoder för att lösa SLAE Förkonditionering