Tikhonov regulariseringsmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Tikhonovs regulariseringsmetod är en algoritm som gör det möjligt att hitta en ungefärlig lösning på illa ställda operatörsproblem i formen . Den utvecklades av A.N. Tikhonov 1965 [1] . Huvudidén är att hitta en ungefärlig lösning av ekvationen i formen , där är den regulariserande operatorn. Han måste se till att när man närmar sig det exakta värdet av , den ungefärliga lösningen skulle tendera till den önskade exakta lösningen av ekvationen . [2] $ax=u$ $Ax=u$ $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$ $R(u_{\delta },\alpha )$ ${\displaystyle u_{\delta ))$ $u_{T}$ $\delta \to 0$ ${\displaystyle x_{\delta ))$ $x_{T}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Regulerande operatör

En operator som är beroende av parametern kallas en regulariserande operator för ekvationen om den har följande egenskaper: $R(u,\alfa)$ $\alfa$ $Ax=u$

Definierat för vem som helst och vem som helst . $\alfa >0$ $u\i U$
Om , Då finns det sådan att för alla finns det sådant att om , då , där , , är ett mått i rymden (det vill säga avståndet mellan vektorerna och ), och är ett mått i rymden . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alfa (\delta)$ $\varepsilon >0$ $\delta (\varepsilon )$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$ $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ $\alpha =\alpha (\delta)$ $\rho _{U}$ $U$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ $u_{T}$ ${\displaystyle u_{\delta ))$ $\rho _{F}$ $X$

Metod för att konstruera regulariserande operatorer

För en bred klass av ekvationer visade A. N. Tikhonov att lösningen av problemet med att minimera det funktionella kan betraktas som ett resultat av att tillämpa en regulariserande operator som beror på parametern . Funktionen kallas en uppgiftsstabilisator . $ax=u$ $x_{{\alpha ))$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta})+\alpha \Omega \left[ x\höger]$ $\alfa$ $x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha )$ $\Omega \vänster[x\höger]$ $ax=u$

Applikationsexempel

Låt oss hitta en normal (närmast ursprunget) lösning av systemet med linjära ekvationer med en noggrannhet som motsvarar noggrannheten för att ställa in matris- och kolumnelementen i fallet när värdena för matriselementen och kolumnen med fria termer ges endast ungefär. $X$ $AX=B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Förklaring av problemet

Betrakta ett system av linjära ekvationer i matrisform: . Låt oss kalla sfäriska kvantitetsnormer . Låt oss beteckna som kända ungefärliga värden för elementen i matrisen och kolumnen . En matris och en kolumn kommer att kallas en -approximation av en matris och en kolumn om ojämlikheterna är uppfyllda . Låt oss presentera det funktionella . Tikhonovs teorem reducerar frågan om att hitta den ungefärliga normala lösningen av ett ekvationssystem till att hitta det element på vilket denna funktion når sitt lägsta värde. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\summa _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\tilde {A)],{\tilde {B))$ $A$ $B$ ${\tilde {A}}$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $A$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)))=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ ${\displaystyle X^{\alpha ))$

Tikhonovs teorem

Låt matrisen och kolumnen uppfylla villkoren som säkerställer systemets kompatibilitet , är en normal lösning av detta system, är en -approximation av matrisen , är en -approximation av kolonnen , och är alla ökande funktioner som tenderar att nollställas vid och sådan att . Sedan för alla finns det ett positivt nummer så att för alla och för alla som uppfyller villkoret , elementet som ger minimum till det funktionella uppfyller olikheten [3] [4] . $A$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\tilde {A}}$ $\delta$ $A$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $B$ $\varepsilon \left(\delta \right)$ $\alpha \left(\delta \right)$ $\delta$ $\delta \rightarrow +0$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alfa$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)))\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\alpha ))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alpha {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$

Anteckningar

↑ Tikhonov A. N. Om illa ställda problem med linjär algebra och en stabil metod för deras lösning // DAN SSSR, 1965, v. 163, nr 3, sid. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , sid. 264.
↑ Linjär algebra, 2004 , sid. 100.
↑ Metoder för att lösa illa ställda problem, 1979 , sid. 119.

Litteratur

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Linjär algebra. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 sid. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Metoder för att lösa illa ställda problem. - M. : Nauka, 1979. - 283 sid.
Arsenin V. Ya Metoder för matematisk fysik och specialfunktioner. — M .: Nauka, 1974. — 430 sid.