Fiktiv områdesmetod

Den fiktiva domänmetoden är en metod för ungefärlig lösning av matematisk fysiks problem i geometriskt komplexa domäner, baserad på övergången till ett problem i en geometriskt enklare domän (vanligtvis en flerdimensionell parallellepiped ) som helt innehåller den ursprungliga. [1] Fördelen med denna metod är bekvämligheten med att sammanställa universella program för den numeriska lösningen av en bred klass av gränsvärdesproblem inom matematisk fysik, som inte längre beror på den specifika typen av det övervägda området. [2] Nackdelen med denna metod är den låga noggrannheten hos den ungefärliga lösningen [3] och komplexiteten i att skapa skillnadsscheman och numerisk lösning av problem. [2]

Exempel

Tänk på problemet med att hitta en okänd funktion baserat på differentialekvationen: $u(x)$

{\frac {d^{2}u}{dx^{2))}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)

med randvillkor:

u(0)=0,u(1)=0

För att lösa problemet, överväg ett fiktivt område . Beteckna som en ungefärlig lösning av problemet i en fiktiv region. Här är en liten parameter. $0<x<2$ $u_{\epsilon }(x)$ $\epsilon$

Variant av lösningen med fortsättning med de högsta koefficienterna

I det här fallet är lösningen av differentialekvationen: $u_{\epsilon }(x)$

{\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0 <x<2\quad(2)

Stegfaktorn beräknas enligt följande: $k^{\epsilon }(x)$

k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\ slut{cases}}

Vi representerar den högra sidan av ekvation (2) som:

\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)

Gränsvillkor för ekvation (2):

u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0

Om du behöver ställa in villkoren för "länkning": $x=1$

[u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

där symbolen betyder "gap": $[\cdot ]$

[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)

Lösningen på problemet har formen:

u_{\epsilon }(x)={\begin{cases}x(1+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}\epsilon ^{2} -x),&0<x<1\\(2-x)(c_{0}\epsilon ^{2}(x-1)+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2 }+1}}),&1<x<2\end{cases}}

Genom att jämföra det med den exakta lösningen av ekvation (1) får vi en feluppskattning: $u(x)=x(1-x)$

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1

Variant av lösningen med fortsättning med avseende på de lägsta koefficienterna

I det här fallet är lösningen av differentialekvationen: $u_{\epsilon }(x)$

{\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon } (x),\quad 0<x<2\quad(4)

Här definierad som i ekvation (3), beräknas koefficienten som: $\phi ^{\epsilon }(x)$ $c^{\epsilon }(x)$

c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2. \end{cases}}

Gränsvillkoren för ekvation (4) är desamma som för ekvation (2).

Parningsvillkor vid punkt : $x=1$

[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

Lösningsfel:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1

Anteckningar

↑ Marchuk G.I. Methods of Computational Mathematics. - M., Nauka, 1980. - sid. 130-136
↑ 1 2 Vabishchevich, 1991 , sid. 6.
↑ Vabishchevich, 1991 , sid. 5.
↑ Vabishchevich, 1991 , sid. 12-16.

Litteratur

Vabishchevich PN Metod för fiktiva domäner i problem av matematisk fysik. - M. : MGU, 1991. - 156 sid. — ISBN 5-211-01578-9 .