Newtons polyeder

Newtons polyeder är en polyeder med heltalshörn i n -dimensionell euklidisk rymd, som är konstruerad från ett polynom i n variabler.

Konstruktion

Anta

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\summa a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1 }}\dots x_{n}^{i_{n}}

är ett polynom i n variabler. Beteckna med mängden av alla multiindex så att . Per definition av ett polynom, förstås. $jag$ $i_{1},\dots ,i_{n}$ $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$ $jag$

konvext skrov

{\displaystyle N_{f}=\mathop {\rm {Conv)) I\subset \mathbb {R} ^{n))

kallas Newtons polyhedronpolynom . $f$

Egenskaper

Det typiska antalet lösningar som inte är noll till ett system av polynomekvationer är $f_{1}=\dots =f_{n}=0$ $n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$

där polynomets Newtonpolyeder och är deras blandade volym . [1] [2]

N_{i}

f_{i}

V(N_{1},\dots ,N_{n})

Variationer och generaliseringar

Newton-Okounkov-polyedern är en liknande konstruktion för typiska linjära kombinationer av givna polynom. [3]

Anteckningar

↑ DN Bernstein, "Antalet rötter i ett ekvationssystem", Funktion. Anal. Appl. 9 (1975), 183-185
↑ A.G. Kouchnirenko , "Polyhedres de Newton et nombres de Milnor", Invent. Matematik. 32 (1976), 1-31
↑ Andrej Okounkov . Brunn–Minkowski ojämlikhet för mångfald // Inventiones mathematicae. - T. 125 , nr 3 . - S. 405-411 .

Litteratur

Burago, Yuri Dmitrievich , Viktor Abramovich Zalgaller . Geometriska ojämlikheter. Vetenskap, 1980.
Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Idéer om Newton-Okounkov-kroppar , ögonblicksbilder av modern matematik från Oberwolfach , nr . 8/2015: