Blandad volym

Blandad volym är en numerisk egenskap hos en uppsättning konvexa kroppar i det dimensionella euklidiska rummet. $n$ $n$

Den blandade volymen av en uppsättning anges vanligtvis ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$

V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})

Definition

Låt mängden konvexa kroppar komma in och vara positiva reella tal. Beteckna med kroppens volym ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

där " " betecknar Minkowski-summan och $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

Funktionen är ett homogent polynom av grad . Koefficienten för detta polynom vid är per definition lika med . $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n))$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

Lägg märke till att

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\summa _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Egenskaper

För godtyckliga icke-negativa tal , ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$
Den blandade volymen är invariant vid parallella översättningar av kroppar i en uppsättning.
Den blandade volymen är monoton med avseende på inkluderingen av kroppar.
Den blandade volymen är kontinuerlig med avseende på Hausdorff-metriken .
Den blandade volymen är icke-negativ.
- Dessutom, om och endast om det är möjligt att rita ett segment i varje så att dessa segment är linjärt oberoende. $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ $K_{i}$
För ett icke-negativt heltal uttrycks den blandade volymen av kopior av den konvexa kroppen i och kopior av enhetskulan i termer av det -:e genomsnittliga tvärmåttet . Särskilt $k\leq n$ $nk$ $K$ $\mathbb {R} ^{n}$ $k$ $k$ $K$
- Den blandade volymen för en uppsättning kopior är lika med den normala volymen . $n$ $K$ $K$
- Den blandade volymen av en uppsättning spjut och en enda boll är lika med ytan . $n-1$ $K$ ${\frac {1}{n}}$ $K$
Det typiska antalet lösningar till ett system av polynomekvationer är lika med den blandade volymen av Newtons polyedrar . $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ $f_{i}$
Minkowskis ojämlikhet $V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Aleksandrov - Fenchel ojämlikhet $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

Se även

Hadwigers sats

Litteratur

Burago, Yuri Dmitrievich , Viktor Abramovich Zalgaller . Geometriska ojämlikheter. Vetenskap, 1980.