Hadwigers sats

Hadwigers sats kännetecknar kontinuerliga värderingar på konvexa kroppar i det euklidiska rummet som är oföränderliga under rörelser. Bevisad av Hugo Hadwiger .

Inledning

Värderingar

Låt vara klassen för alla icke-tomma kompakta konvexa uppsättningar i . En värdering på är en funktion sådan att jämställdheten $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

gäller för alla sådana som , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Vart i

En värdering sägs vara kontinuerlig om den är kontinuerlig med avseende på Hausdorff-måttet .
En värdering sägs vara rörelseinvariant om för någon rörelse φ och vilken rörelse som helst $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Genomsnittligt tvärmått

$k$ -th genomsnittliga tvärmåttet av en kropp definieras som den genomsnittliga dimensionella arean av projektioner på -dimensionella plan. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Särskilt,

$W_{n}(S)$ - volym , $S$
$W_{n-1}(S)$ är proportionell mot ytan . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Formulering

Varje kontinuerlig värdering v på K n , invariant under rörelser, kan representeras som

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Litteratur

Semyon Alesker Introduktion till teorin om värderingar på konvexa uppsättningar Videoinspelningar av föreläsningar, Mathematical Summer School "Algebra and Geometry" 25—31 juli 2014 Yaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introduktion till geometrisk sannolikhet (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Ett förenklat elementärt bevis på Hadwigers volymsats // Geom . Dedicata: journal. - 2004. - Vol. 105 . - S. 107-120 . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .