Värdering

Värdering är en generalisering av begreppet mått , vanligtvis definierat på konvexa uppsättningar av euklidiskt rum .

Definition

Låt vara klassen för alla icke-tomma kompakta konvexa uppsättningar i . En värdering på är en funktion sådan att jämställdheten $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

gäller för alla sådana som , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Anteckningar

En värdering sägs vara kontinuerlig om den är kontinuerlig med avseende på Hausdorff-måttet .
En värdering sägs vara rörelseinvariant om för någon rörelse φ och vilken rörelse som helst $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Exempel

Genomsnittligt tvärmått

$k$ -th genomsnittliga tvärmåttet av en kropp definieras som den genomsnittliga dimensionella arean av projektioner på -dimensionella plan. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Särskilt,

$W_{n}(S)$ - volym , $S$
$W_{n-1}(S)$ är proportionell mot ytan . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Dirac värdering

Dirac-värderingen av en punkt definieras som ${\displaystyle \delta _{x))$ $x$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ fall}}

Egenskaper

Hadwigers sats : Varje kontinuerlig värdering som är invariant under rörelser kan representeras som en linjär kombination av korsmått.
Varje värdering på heltalspolytoper som är invariant under heltalsskift och uttrycks som en linjär kombination av koefficienterna för Earhart-polynomet . [ett] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Litteratur

Semyon Alesker Introduktion till teorin om värderingar på konvexa uppsättningar Videoinspelningar av föreläsningar, Mathematical Summer School "Algebra and Geometry" 25—31 juli 2014 Yaroslavl

Anteckningar

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematik. 358, 202-208.