Ett Haken-grenrör är ett kompakt P 2 -irreducerbart 3-grenrör som är tillräckligt stort , vilket betyder att det innehåller en korrekt kapslad tvåsidig inkompressibel yta . Ibland beaktas endast orienterbara Haken-grenrör, i vilket fall Haken-grenrör är kompakta orienterbara irreducerbara 3-grenrör som innehåller orienterbara inkompressibla ytor.
Ett 3-grenrör som täcks av ett ändligt antal Haken-grenrör kallas ett virtuellt Haken-grenrör . Haken virtualitetsförmodan säger att varje kompakt irreducerbar 3-grenrör med en finit fundamental grupp är en virtuell Haken-variant. Denna hypotes bevisades av Ian Agol.
Haken grenrör föreslogs av Wolfgang Haken [1] . Haken [2] bevisade att Hakens grenrör har en hierarki där de kan delas in i 3-bollar längs inkompressibla ytor. Haken visade också att det finns en ändlig procedur för att hitta en inkompressibel yta om 3-grenröret har en. Jaco och Ortel [3] presenterade en algoritm för att avgöra om ett 3-grenrör är ett Haken-grenrör.
Normala ytor är allestädes närvarande i teorin om Hakens grenrör, och deras enkla och stela struktur leder naturligt till algoritmer.
Vi kommer bara att överväga fallet med orienterbara Haken-manifolder för att förenkla diskussionen. En vanlig grannskap av en orienterbar yta i en orienterbar 3-grenrör är bara en "förtjockad" version av ytan, d.v.s. en trivial I -shed . Således är en vanlig stadsdel en 3-dimensionell undergren med gräns som innehåller två kopior av ytan.
Givet ett orienterbart Haken-grenrör M , innehåller det per definition en orienterbar inkompressibel yta S. Ta ett vanligt område av ytan S och ta bort dess inre från M , vi får grenröret M' . I huvudsak skär vi M längs ytan S . (Detta är analogt, i dimension ett mindre, med att skära en yta längs en cirkel eller en båge.) Det finns ett teorem att varje orienterbart kompakt grenrör som har en komponent med gräns som inte är en sfär har en oändlig första homologigrupp, som antyder att den har en korrekt kapslad 2-sidig oskiljbar inkompressibel yta och därför också är en Haken-grenrör. Således kan vi välja en annan inkompressibel yta i M' och skära längs den. Om denna sekvens av snitt så småningom resulterar i ett grenrör vars delar (komponenter) helt enkelt är 3-kulor, kallar vi denna sekvens en hierarki.
Hierarkin gör det möjligt att bevisa vissa typer av Hakens mångfaldiga satser genom induktion. Först bevisas ett teorem för 3-bollar. Sedan är det bevisat att om satsen är sann för delarna som erhålls genom att kapa Haken-grenröret, så är det också sant för Haken-grenröret självt. Nyckeln här är att snittet är längs en mycket "bra" yta, det vill säga inkompressibel. Detta gör att induktionsbeviset låter i många fall.
Haken skissade ut ett bevis på en algoritm för att kontrollera om två Haken-varianter är homeomorfa. Hans skiss av beviset var fylld med oberoende ansträngningar från Waldhausen, Johanson, Hemion, Matveev och andra. Sedan dess har det funnits en algoritm för att kontrollera om ett 3-grenrör är ett Haken-grenrör, och huvudproblemet med att känna igen 3-grenrör kan anses vara löst för Haken-grenrör.
Waldhausen [4] bevisade att slutna Haken-grenrör är topologiskt stela - grovt sett är varje homotopi-ekvivalens av Haken-grenrör homotopi till en homeomorfism (i fallet med en gräns krävs ett tillstånd på en perifer struktur). Således bestäms 3-grenrör helt av sin grundläggande grupp. Dessutom bevisade Waldhausen att de grundläggande grupperna av Haken-sorter har ett lösbart ordproblem. Detsamma gäller för virtuella Hakenska grenrör.
Hierarkin spelar en avgörande roll i William Thurstons hyperboliseringsteorem för Haken-manifolds, som är en del av hans revolutionära program för geometrisering av 3-manifolds.
Johanson [5] bevisade att atoroidala icke- ring gräns-irreducerbara Haken 3-grenrör har ändliga kartläggningsklassgrupper . Detta resultat kan erhållas genom att kombinera Mostovs stelhet med Thurstons geometriseringssats.
Observera att vissa exempelfamiljer finns i andra.