Shapiro polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 januari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Shapiropolynom är en sekvens av polynom som först studerades av Harold Shapiro 1951 när man övervägde värdena för några speciella trigonometriska summor [1] . Ur signalbehandlingssynpunkt har Shapiro-polynom goda autokorrelationsegenskaper [ 2] och deras värden i enhetscirkeln är små. Första medlemmarna i sekvensen:

{\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\ P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7} \\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2}+x^{3}\\Q_ {3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\ \...\\\end{aligned}}

där den andra sekvensen, Q , kallas komplementär till den första sekvensen, P .

Byggnad

Shapiropolynom kan erhållas från Rudin-Shapiro-sekvensen ( , om antalet delsträngar 11 i den binära representationen av n är jämnt, och annars ( OEIS A020985 )). Ja osv. $P_{n}(z)$ $en$ $a_{n}=1$ $a_{n}=-1$ $a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=-1$

$P_{n}$ är en delsumma av ordningen för en potensserie $2^{n}-1$ $f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$

Rudin-Shapiro-sekvensen har en struktur som liknar den fraktala - till exempel , det vill säga att undersekvensen sammanfaller med originalet . Denna egenskap leder till de anmärkningsvärda funktionella ekvationerna som . $en$ $a_{n}=a_{{2n}}$ $a_{0},a_{2},a_{4},...$ $\{en}\}$ $F Z)$

Ytterligare Shapiro-polynom, , kan definieras genom samma sekvens, genom relationen eller genom rekursiva formler: $Q_{n}(z)$ $Q_{n}(z)=(-1)^{n}z^{{2n}}P_{n}({\frac {-1}{z}})$

P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;

P_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)+z^{{2^{n}}}Q_{n}(z);

Q_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)-z^{{2^{n}}}Q_{n}(z).

Egenskaper

En ytterligare sekvens, motsvarande , bestäms unikt av följande egenskaper: $Q_{n}$ $P_{n}$

Graden är . $Q_{n}$ $2^{n}-1$
Koefficienterna är lika , koefficienten vid nollgraden är lika med 1. $Q_{n}$ $\pm 1$
Jämlikheten gäller hela enhetscirkeln . $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{{n+1}}$ $z\in \mathbb {C} ,|z|=1$

Den mest intressanta egenskapen för sekvensen är att modulen för värdet på enhetscirkeln är avgränsad , vilket är lika för -norm . Polynom med koefficienter vars maximala modul på enhetscirkeln är nära medelmodulen är användbara i olika tillämpningar av kommunikationsteori (t.ex. antennform och datakomprimering ). Egenskap (3) visar att (P, Q) bildar ett Golay-par . $P_{n}$ $P_{n}(z)$ ${\sqrt {2^{{n+1))))$ $L_{2}$ $P_{n}$ $\pm 1$

Andra egenskaper hos dessa polynom [3] :

P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});

Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});

P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};

P_{n+k+1}(z)=P_{k}(z)P_{n}(z^{2k+1})+z^{2k}Q_{k}(z)P_{ n}(-z^{2k+1});

P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^ {n})2^{\lgolv n/2\rgolv -1}.

Se även

Littlewood polynom

Anteckningar

↑ John Brillhart och L. Carlitz. Anteckning om Shapiro-polynomen // Proceedings of the American Mathematical Society : journal . — Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, nr. 1, 1970. - maj ( vol. 25 , nr 1 ). - S. 114-118 . - doi : 10.2307/2036537 .
↑ Somaini, U. Binära sekvenser med bra korrelationsegenskaper // Elektronikbokstäver : journal. - 1975. - 26 juni ( vol. 11 , nr 13 ). - S. 278-279 . - doi : 10.1049/el:19750211 .
↑ J. Brillhart; J. J. Lomont, P. Morton. Cyklotomiska egenskaper hos Rudin–Shapiro-polynomen (engelska) // J. Reine Angew. Matematik. : journal. - 1976. - Vol. 288 . - S. 37-65 .

Referenser

Borwein, Peter B Beräkningsexkursioner i analys och talteori . - Springer, 2002. - ISBN 0387954449 . kapitel 4.