Autokorrelationsfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 maj 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Autokorrelationsfunktion - beroendet av förhållandet mellan funktionen (signalen) och dess förskjutna kopia av storleken på tidsförskjutningen.

För deterministiska signaler bestäms autokorrelationsfunktionen ( ACF ) för signalen av integralen : $med)$

\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t

och visar anslutningen av signalen (funktion ) med en kopia av sig själv, förskjuten med värdet . Asterisken betyder komplex konjugation . $\;med)$ $\tau$

För slumpmässiga processer har ACF för en slumpmässig funktion formen [1] : $X(t)$

{\displaystyle K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\))

var är den matematiska förväntan , asterisken betyder komplex konjugation . ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \))$

Om den ursprungliga funktionen är strikt periodisk , kommer grafen för autokorrelationsfunktionen också att ha en strikt periodisk funktion. Från denna graf kan man således bedöma periodiciteten för den ursprungliga funktionen, och följaktligen dess frekvensegenskaper. Autokorrelationsfunktionen används för att analysera komplexa fluktuationer , till exempel ett mänskligt elektroencefalogram .

Applikation inom teknik

Korrelationsegenskaper hos kodsekvenser som används i bredbandssystem beror på typen av kodsekvens, dess längd, frekvensen av dess symboler och på dess symbol-för-symbol-struktur.

Studiet av ACF spelar en viktig roll i valet av kodsekvenser när det gäller den lägsta sannolikheten för att etablera falsk synkronisering.

Andra användningsområden

Autokorrelationsfunktionen spelar en viktig roll i matematisk modellering och tidsserieanalys , och visar de karakteristiska tiderna för de processer som studeras (se till exempel: Turchin P.V. Historical dynamics. M .: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). Speciellt motsvarar cykler i beteendet hos dynamiska system maxima för autokorrelationsfunktionen för någon karakteristisk parameter.

Hastighetsberäkning

Det är ofta nödvändigt att beräkna autokorrelationsfunktionen för en tidsserie . Head-on beräkning fungerar för . Det finns dock ett sätt att göra det för . $x_{i}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

Metoden är baserad på Khinchin-Kolmogorov (alias Wiener-Khinchin) teoremet, som säger att autokorrelationsfunktionen för en signal är Fouriertransformen av dess spektraltäthet . Eftersom det finns en snabb Fourier-transformationsalgoritm för diskreta signaler för att beräkna deras spektra , som har en ordningsföljd av komplexitet , är det möjligt att påskynda beräkningen av autokorrelationsfunktionen genom att beräkna signalspektrumet, sedan dess effekt (kvadraten på modulen) ) och sedan den inversa Fouriertransformen. $O(T\log T)$

Kärnan i metoden är som följer. Du kan göra någon invers en-till-en-datatransformation, kallad Fourier-transform , som kommer att placera dem i en en-till-en-överensstämmelse med en datauppsättning i ett annat utrymme, kallat frekvensutrymmet (signalens frekvensspektrum - - uppsättningen spektrala amplituder). Istället för att direkt beräkna autokorrelationsfunktionen på våra initiala data, kan vi utföra operationen som motsvarar den på motsvarande data i Fourierspektrumets frekvensutrymme, vilket görs i linjär tid O (T) - beräkningen av autokorrelationsfunktionen i frekvensutrymmet motsvarar beräkningen av frekvenseffekterna genom att kvadrera modulerna för spektralamplituderna. Efter det, med hjälp av de erhållna spektrala krafterna, kommer vi att återställa värdena för autokorrelationsfunktionen som motsvarar dem i det vanliga rymden. Beräkningen av spektrumet från en funktion och vice versa görs med den snabba Fouriertransformen , beräkningen av den spektrala effekttätheten i frekvensutrymmet görs i O(T). Därmed har vi fått en tidsvinst i beräkningarna. $O(T\log T)$

Träning. Subtrahera det aritmetiska medelvärdet från serien . Låt oss konvertera till komplexa tal . Utfyllnad med nollor till . Lägg sedan till fler nollor till slutet. $2^k$ $2^k$

Beräkning. Autokorrelationsfunktionen beräknas med den snabba Fouriertransformen och är direkt proportionell mot de första elementen i sekvensen $n$

\Psi(\tau) \sim \operatörsnamn{Re} \operatörsnamn{fft}^{-1}\left(\left|\operatörsnamn{fft}(\vec x)\right|^2\right)

Den komplexa modulens kvadrat tas element för element: . Om det inte finns några räknefel blir den tänkta delen noll. Proportionalitetsfaktorn bestäms utifrån kravet . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatörsnamn{Re}^2 a_i + \operatörsnamn{Im}^2 a_i \right\}$ $\Psi(0)=1$

Se även

Anteckningar

↑ Charles Therrien , Murali Tummala. Sannolikhet och slumpmässiga processer för el- och dataingenjörer. - CRC Press, 2012. - S. 287 . Hämtad 8 september 2016. Arkiverad från originalet 17 september 2016. (obestämd)

Länkar

xcorr- funktion i MATLAB