Modell FitzHugh - Nagumo

FitzHugh-Nagumo-modellen är en matematisk modell uppkallad efter Richard FitzHugh (1922-2007), som 1961 publicerade [A: 1] [B: 1] motsvarande system av differentialekvationer som kallas Bonhoeffer-van der Pol-modellen , och D Nagumo (1926-1999) [1] , som föreslog ett liknande ekvationssystem följande år.

Formell definition

[A: 1] härleddes ursprungligen som en generalisering av van der Pols ekvation och en modell som föreslagits av den tyske kemisten Karl-Friedrich Bonhoeffer .

Med den konventionella Liénard-transformationen [A: 2] :

FitzHugh skrev om van der Pol-modellen i Cauchy normal form:

Vidare, genom att lägga till nya medlemmar, får R. FitzHugh ett system av vanliga differentialekvationer, som han betecknade som "Bonhoeffer-van der Pol-modellen" (i originalet: Bonhoeffer-van der Pol-modellen (BVP för kort)) :

var . För ett särskilt fall degenererar denna modell till Van der Pol-oscillatorn .

1991 Arthur Winfrey[A: 3] genomförde en studie av denna modell för fallet med en tvådimensionell miljö, och föreslog också en klassificering av varianter av att skriva denna modell av olika författare till vetenskapliga artiklar. Den version av modellposten som föreslagits av R. FitzHugh, [A: 1] motsvarar formatet 1 , enligt A. Winfrey. I formatet 4 [A:4] kan det skrivas om som

I sin kanoniska form skrivs det [A: 4] som

.

Med Bohoeffer-van der Pol-modellen, som R. FitzHugh själv presenterade 1961, sammanfaller FitzHugh-Nagumo-modellen, som vanligen används inom de biologiska vetenskaperna, med inre tecken. I traditionen att modellera fysiologiska processer skrivs detta dynamiska system som:

där är en dimensionslös funktion som liknar transmembranpotentialen i en biologisk exciterbar vävnad och är en dimensionslös funktion som liknar en långsam återhämtningsström. Med en viss kombination av parametrar i ekvationssystemet observeras ett allt-eller-inget- svar : om en extern stimulans överskrider ett visst tröskelvärde kommer systemet att visa en karakteristisk fram- och återgående rörelse (exkursion) i fasrummet tills variablerna och "slappna av" inte till de tidigare tillstånden. Detta beteende är typiskt för spikar som exciteras i en neuron genom stimulering av en extern insignal.

Dynamiken i detta system kan beskrivas som att växla mellan vänster och höger grenar av den kubiska nollisoklinen .

Betydelse i vetenskapen

Denna modell är ett exempel på singulärt störda system [B: 2] och avslappningssvängningar förekommer i den .

Medan van der Pols ekvation (och motsvarande system) är en konceptuell gränscykelmodell , klassificeras Bonhoeffer-van der Pols ekvation (och motsvarande system) som en konceptuell modell av autovågprocesser . På grundval av detta har ett stort antal ämnesmässiga, formellt kinetiska, modeller av kemiska och biologiska oscillerande system skapats. Används ofta som en " grundmodell för ett stort antal biofysiska problem ". [2]

Roll i fysiologi

Inom fysiologi används beteendet hos en exciterbar vävnad (till exempel en neuron) som en begreppsmässig matematisk modell. FitzHugh-Nagumo-modellen kan ses som en förenklad version av Hodgkin-Huxley-modellen , som i detalj förklarar dynamiken i aktivering och deaktivering av en pulserande neuron.

Bifurkationsfenomen av fördröjning och minne

Det har föreslagits [A: 4] att de tidigaste observationerna av " bifurkationsminne " bör betraktas som de fenomen som beskrevs 1961 av FitzHugh [A: 1] : någon del av fasbanorna rör sig längs separatrixen. FitzHugh betecknar dem med orden "kvasitröskelfenomen", och betonar därmed det faktum att resultaten som erhölls i hans experiment skilde sig markant från de som vanligtvis observerades i experimentellt arbete med fysiologi av excitabla vävnader och som av fysiologer betecknades som en " tröskeleffekt” eller svar enligt principen ” allt eller inget ”.

Ytterligare resultat om bifurkationsfenomenen fördröjning och minne i FitzHugh-Nagumo-systemet publicerades 1989. [A:5]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ En liknande lösning föreslogs av Jin'ichi Nagumo, Suguru Arimoto och Shuji Yoshizawa. [ett]
  2. ↑ Mishchenko, 1995 , kapitel 2, sid. 114–132.

Litteratur

Böcker

  1. ↑ FitzHugh R. Matematiska modeller av excitation och fortplantning i nerv. Kapitel 1 // Biologisk teknik  (engelska) / HP Schwan. - N. Y .: McGraw-Hill Book Co., 1969. - S. 1-85.
  2. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodiska rörelser och bifurkationsprocesser i enskilt störda system . - M . : Fizmatlit, 1995. - 336 sid. — ISBN 5-02-015129-7 .

Artiklar

  1. ↑ 1 2 3 4 FitzHugh R. Impulser och fysiologiska tillstånd i teoretiska modeller av nervmembran   // Biophys . J. : tidskrift. - 1961. - Vol. 1 . — S. 445–466 .
  2. ↑ Liénard A. Étude des oscillations entretenues  (franska)  // Revue Générale de l'Électricité : tidskrift. - 1928. - Vol. 23 . — S. 901–912, 946–954 .
  3. ↑ Winfree AT Variationer av spiralvågbeteende: En experimentalists inställning till teorin om exciterbara medier  //  Chaos : journal. - 1991. - Vol. 1 , nej. 3 . — S. 303–334 .
  4. ↑ 1 2 3 Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. På frågan om det aktuella tillståndet för oscillationsteorin  // Preprints of the IAM im. M. V. Keldysh  : tidskrift. - 2019. - Nr 44 . — S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .
  5. ↑ Baer SM , Erneux T. , Rinzel J. [ http://www.jstor.org/stable/2102057 Den långsamma passagen genom en Hopf-bifurkation: fördröjning, minneseffekter och resonans]  //  SIAM J. Appl. Matematik. : tidning. - 1989. - Vol. 49 , nr. 1 . — S. 55–71 .

Ytterligare läsning

Länkar