Monogen funktion

En funktion sägs vara monogen (eller differentierbar i betydelsen komplex analys ) vid en punkt om gränsen $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$

\lim _{{z\to z_{0}}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

existerar och är samma för att närma sig en punkt längs en godtycklig väg. Nyckelrollen i detta spelas av det så kallade Cauchy-Riemann-tillståndet . En funktion som är monogen i närheten av en punkt kallas holomorf vid den punkten. En funktion som är monogen på alla punkter i någon öppen domän sägs vara holomorf i den domänen. $z$ $z_{0}$ $z_{0}\in {\mathbb {C}}$ $D\subseteq \mathbb {C}$

En funktion kallas polygen om en sådan gräns beror på vägen och har oändligt många värden. Det kan visas att en komplext värderad funktion kan vara antingen monogen eller polygen, och fallet med förekomsten av ett ändligt antal olika värden av denna gräns är uteslutet.

Exempel. Funktionen är monogen vid noll: $f(z)=z$

\lim _{{z\to 0}}{\frac {z-0}{z-0}}=1,

och funktionen är polygen: $f(z)=\överlinje z$

\lim _{z\to 0}{\frac ({\overline {z))-0}{z-0))=\lim _{z\to 0}{\frac {|z|e ^{-i\phi }}{|z|e^{i\phi }}}=e^{-2i\phi },

eller

\lim _{z\to 0}{\frac {{\overline {z}}-0}{z-0}}=\operatörsnamn {sgn} ^{-2}z,

där φ är argumentet för talet z − 0, och sgn är den komplexa teckenfunktionen för , som tar ett värde vars modul alltid är enhet.

Se även

Litteratur

Bitsadze A.V. Grunderna i teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel - M., Nauka, 1969.
Shabat B.V., Introduktion till komplex analys - M., Nauka, 1969.