Multinomial koefficient

Multinomial ( polynom ) koefficienter - koefficienter i expansion i termer av monomer : $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\dots x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\summa _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}} {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\dots x_{m}^{{k_{m}}}.

Explicit formel

Värdet på den multinomiala koefficienten definieras för alla icke-negativa heltal n och så att : $\textstil {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.

Binomialkoefficienten för icke-negativa heltal n , k är ett specialfall av multinomialkoefficienten (för m = 2), nämligen $\textstil {\binom {n}{k))$

{n \choose k}={n \choose k,\nk}.

Egenskaper

I en kombinatorisk mening är den multinomiala koefficienten lika med antalet ordnade partitioner av ett n - element uppsättning i m kardinalitetsdelmängder . $\textstil {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}$

$\sum _{{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}}{n \välj k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m} }=m^{n}.$

Stirlings formel för fix innebär den asymptotiska formeln $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{ 1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}$

Se även

Multinomial distribution