Orientering (matematik)

Orientering ( riktning , nätverk ) - en generalisering av begreppet en sekvens som huvudsakligen används i topologi gör att du kan generalisera begreppet gränsen för en sekvens på rätt sätt.

Direktivitet i ett topologiskt utrymme är vilken mappning som helst från någon stigande riktad uppsättning i . Beteckningar: eller helt enkelt . $X$ $\mathrm{A}$ $X$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$

Vilken sekvens som helst kan betraktas som en riktning, i detta fall spelas rollen som en riktad uppsättning av uppsättningen naturliga tal . $\mathbb {N}$

Ett mer meningsfullt exempel på riktning konstrueras med hjälp av en punkts grannskap som index. För en viss punkt i det topologiska rummet betraktas familjen i alla dess grannskap. Inklusionsrelationen definierar den riktade uppsättningsstrukturen: kvarteren är ordnade som om . Varje grannskap är associerad med sin godtyckliga punkt , en sådan mappning är en riktning. $x$ $B_{x}$ $B_{x}$ $U,V\in B_{x}$ $U\geqslant V$ $U\subset V$ $U\in B_{x}$ $x_{U}\in U$ $U\mapsto x_{U}$

Relaterade definitioner

Direktivitetsgräns

Direktivitet kallas konvergerande till en punkt om det för någon grannskap av punkten finns ett index som för någon . Punkten kallas riktningsgränsen och betecknas med . ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $x$ $V$ $x$ $\alpha _{V}\in \mathrm {A}$ $x_{\alpha }\in V$ $\alpha \geqslant \alpha _{V}$ $x$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ $x_{\alpha }{\xrightarrow[{\mathrm {A} }]{}}x$

Uppsättningen av alla riktningsgränser betecknas som . Om direktivet har exakt en gräns , skriv då ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\))$ ${\displaystyle \lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$ $x$ ${\displaystyle x=\lim _{\alpha \in \mathrm {A} }x_{\alpha ))$

Om ett topologiskt utrymme är Hausdorff , har varje konvergent riktadhet exakt en gräns. Det omvända är också sant: om varje konvergent riktning har exakt en gräns, så är utrymmet Hausdorff.

Konceptet med en riktningsgräns är nära besläktat med begreppet en beröringspunkt : en punkt är en beröringspunkt för en mängd om och endast om det finns en riktning för elementen i denna uppsättning som konvergerar till denna punkt.

Underriktning

Begreppet en undersekvens kan generaliseras till riktningar. Orientering kallas underriktning ( mer subtil riktning ) av orientering om det för någon finns ett sådant index som för varje det finns som uppfyller jämställdhet . ${\displaystyle \left\{y_{\beta}\right\}_{\beta \in \mathrm {B} ))$ ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta (\alpha )\in \mathrm {B}$ $\beta '\geqslant \beta (\alpha )$ $\alpha '\geqslant \alpha$ ${\displaystyle x_{\alpha '}=y_{\beta '))$

Varje sekvens har en underriktning som inte i sig är en sekvens.

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.
L.V. Kantorovich och G.P. Akilov Funktionsanalys. — M .: Nauka, 1984. — 752 sid.