Beskrivande geometri

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Beskrivande geometri  är en ingenjörsdisciplin som representerar en tvådimensionell geometrisk apparat och en uppsättning algoritmer för att studera egenskaperna hos geometriska objekt.

Praktiskt beskrivande geometri är begränsad till studiet av föremål i tredimensionell euklidisk rymd . De initiala uppgifterna bör presenteras som två oberoende projektioner. I de flesta problem och algoritmer används två ortogonala projektioner på ömsesidigt vinkelräta plan.

För närvarande har disciplinen inget praktiskt värde på grund av utvecklingen av datorteknik och apparaturen för linjär algebra , men är förmodligen oumbärlig som en del av allmän ingenjörsutbildning inom ingenjörs- och konstruktionsspecialiteter.

Beskrivande geometri  är en vetenskap som studerar rumsliga figurer genom att projicera (lägga) vinkelräta på några tre plan, som sedan anses kombinerade med varandra.

På det vanliga sättet att avbilda föremål förkortas linjer som sträcker sig långt från betraktarens öga, fastän de är avbildade, i enlighet med hur de förefaller oss, men denna minskning bestäms vanligtvis av ritaren med ögat, och även om i vissa fall kan det förmedlas korrekt med fotografi, men förhållandet i vilket de olika linjerna i det avbildade objektet drabbades av sammandragningar är fortfarande svårt att fastställa; dessutom leder fotografering i många fall till perspektivfel. Varje mästare, oavsett om det är en snickare, en låssmed, en svarvare, en stenhuggare, etc., kan utföra en beställd artikel enligt kundens önskemål endast om han får exakt samma föremål för ett prov, eller hans modell eller design ritning , enligt vilken måtten på alla ritade linjer lätt och exakt skulle kunna bestämmas, även om de som tas bort i bildens djup och därför avbildas som förkortade. Beskrivande geometri lär utarbetandet av sådana ritningar där föremålet avbildas nästan som vi ser det, och dessutom på ett sådant sätt att det avbildade föremålets dimensioner och verkliga utseende kan bestämmas exakt från de ritade linjerna.

Historien om skapandet av beskrivande geometri

I sitt klassiska verk "Geometrie descriptive" ("Descriptive geometri"), publicerat 1798, utvecklade Gaspard Monge en allmän geometrisk teori som gör det möjligt att lösa olika stereometriska problem på ett platt ark som innehåller ortogonala projektioner av en tredimensionell kropp [1 ] .

Han skapade en abstrakt geometrisk modell av det verkliga rymden , enligt vilken varje punkt i tredimensionell rymd tilldelas två av sina ortogonala projektioner på ömsesidigt vinkelräta plan. Med tiden blir en projektionsritning , byggd enligt reglerna för beskrivande geometri, ett arbetsverktyg för ingenjörer , arkitekter och tekniker i alla länder. [ett]

Monge använde i sin teori termerna "horisontell", "horisontell projektionslinje" och "horisontell projektionsplan", såväl som "vertikal", "vertikal projektionslinje" och "vertikal projektionsplan". Förekomsten av etablerade termer i den professionella miljön, enligt Monge, är ett tillräckligt skäl för att vägra att införa mer generell abstrakt terminologi i omlopp:

”Dessutom, eftersom majoriteten av specialister som använder projektionsmetoden. vana vid att hantera horisontalplanets position och lodlinjens riktning, antar de vanligtvis att av de två projektionsplanen är det ena horisontellt och det andra vertikalt .

Terminologi

Grundläggande principer

Föreställ dig att vid punkt O (Fig. 1) är ögat hos en person som tittar på ett föremål AB. Låt oss föreställa oss ett plan MN mellan ögat och föremålet , beläget vinkelrätt mot linjen längs vilken ögat ser ut. Låt oss rita raka linjer från O till de punkter på objektet som kännetecknar dess form. Dessa linjer, som kallas projektionsstrålar , kommer att skära MN- planet vid olika punkter. Uppsättningen av sådana punkter ab kommer att utgöra bilden av objektet AB , som fungerar som dess bild. Därför kallas planet MN bildplanet. Skärningspunkten mellan projektionsstrålen och bildens plan kallas den centrala projektionen eller perspektivet för den punkt på objektet från vilken den givna projektionsstrålen kommer. Detta sätt att avbilda ett objekt kallas perspektiv. Om vi ​​istället för att leda projektionsstrålar från objektets punkter till ögat sänker perpendikulerna från objektets punkter till bildens plan, så kommer den resulterande bilden, representerad av totalen av baserna för dessa perpendikulära, att behålla en viss likhet med perspektivet. Ju mer punkten O avlägsnas från objektet, desto mer kommer projektionsstrålarna att närma sig positionen som är ömsesidigt parallell och vinkelrät mot bildens plan. En sådan bild kallas en ortogonal projektion. Så i en ortogonal projektion avbildas varje punkt på objektet av basen av vinkelrät, sänkt från det till bildens plan. Att få riktiga dimensioner från en given ritning och andra konstruktioner är ojämförligt enklare med ortogonal design än med perspektiv .

Huvudidén med beskrivande geometri är följande: om det finns två ortogonala projektioner av ett objekt på två plan, placerade på olika sätt i förhållande till objektet, kan du, med hjälp av relativt enkla konstruktioner på dessa två bilder, få den sanna objektets dimensioner, den sanna formen av dess plana linjer och ortogonal projektion till ett givet tredje plan. För detta är det naturligtvis nödvändigt att veta i vilken skala de givna två ortogonala projektionerna gavs, det vill säga i vilket allmänt avseende hela ritningen förminskades eller förstorades mot verkligheten. Vanligtvis sätter de synen på ett objekt genom dess ortogonala projektioner på sådana två plan, varav en är horisontell och kallas plan och den andra är vertikal och kallas fasad . De kallas också horisontella och vertikala projektionsplan. En ortogonal projektion av ett objekt på ett plan vinkelrätt mot planen och fasaden kallas en sidovy. En mycket viktig teknik för beskrivande geometri ligger i det faktum att fasadens plan, sidovyn och alla andra plan på vilka objektet projiceras mentalt viks in på planens plan genom att vrida sig runt den räta linjen längs vilken planen skär med planet vikas. Denna teknik kallas matchning. Ytterligare konstruktioner är redan gjorda på en sådan kombinerad ritning , som anges nedan. Eftersom varje föremål är en samling punkter, är det först och främst nödvändigt att bekanta sig med bilden av planen och fasaden på punkten på den kombinerade ritningen.

Låt a (fig. 2) vara en given punkt; P plan plan; Q- plan av fasaden. Om vi ​​släpper vinkelrät från a till planen får vi planen a' för punkt a ; släpper vi vinkelrät från a till fasaden får vi fasaden b av punkt a . Perpendicularer aa' och ab kallas projektlinjer. Planet baa' som definieras av projektionslinjerna kallas projektionsplanet. Den är vinkelrät mot både plan och höjd, och är därför vinkelrät mot skärningspunkten mellan plan och höjdplan, som kallas den gemensamma skärningen. Låt a o vara den punkt där det utskjutande planet skär det gemensamma snittet: a o a' och a o b kommer att vara vinkelräta mot det gemensamma snittet. Med de givna planen för planen och fasaden, bestäms positionen för punkten a helt av dess plan a' och fasaden b , eftersom a är i skärningspunkten mellan vinkelrät höjd från a' till planens plan, med vinkelrät höjd från b till fasadens plan. För att få en kombinerad ritning, låt oss rotera fasadens Q -plan i pilens riktning, nära det gemensamma snittet, tills det sammanfaller med planens plan. I detta fall kommer punkt b att falla in i a" . Således kommer punkt a" , som är en kombinerad fasad av punkt a , att ligga på fortsättningen av vinkelrät a'a o , sänkt från plan a' till ett gemensamt snitt.

Den kombinerade ritningen som visas i fig. 3 där MN är den gemensamma luckan; a'  är planen och a"  är den kombinerade fasaden av punkten a , som i sig inte längre visas.

Beskrivande geometri behandlar endast överlagrade ritningar; varje poäng ges av planen och den kombinerade fasaden; ritningar, fyllda med vanliga tekniker (som vi har i fig. 1, 2 och 5), tillgrips endast i början av studiet av denna vetenskap.

Projektion av en rät linje

En rät linje definieras av två punkter. Därför, om det finns en plan och fasad (kombinerad) av två punkter a och b som ligger på en linje, så kommer linje a'b' som förbinder planerna för punkterna a och b att vara planen för linje ab och linje a"b" som förbinder fasaderna av punkterna a och b , blir fasaden på linjen ab . Figur 4 visar den räta linjen ab med dess plan och fasad.

Typiska knep

Bestämma den sanna längden av ett rakt linjesegment givet av plan och projektion

Låt oss använda ritningen, utförd på vanligt sätt (fig. 5).

Låt ab vara det givna räta linjesegmentet, a'b' dess plan och "b" dess fasad. Låt oss vända planet a'abb' runt den raka linjen a'b' och böja det till positionen a'b'BA på planplanet. I detta fall kommer segmentet ab att ta positionen AB. Följaktligen:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Vinkelrätheten av räta linjer a'a och b'b till a'b' har därför inte ändrats, för att bestämma dess verkliga längd från en given plan och fasad av ett rakt segment i en kombinerad ritning (fig. 6), du måste: återställa från a' och b' till vinkelräta mot planen a'b' och sätta på dem: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Linjen AB kommer att vara lika med den sanna längden på linjen ab . I detta exempel ser vi att på ritning 5, utförd på vanligt sätt, visas den räta linjen ab i en förkortad form enligt hur vi ser den, och eftersom graden av denna förkortning är okänd är det omöjligt att avgöra det verkliga avståndet ab från ritning 5. Under tiden, på ritning 6, även om själva linjen ab inte visas, utan endast dess plan a'b' och fasaden a"b" ges , så är det från dem möjligt att bestämma linjen de representerar med fullständig noggrannhet.

Bestämning av sidovyn av en punkt enligt dess plan och fasad

Låt a' vara planen och a" fasaden för en given punkt (fig. 7), medan sidovyns plan skär planens plan längs den räta linjen på och fasadens plan längs den räta linjen om .

När planen för plan och fasad kombineras kommer om och on att ligga på samma räta linje mn , vinkelrätt mot MN , eftersom vi antar att sidovyns plan är vinkelrät mot planen och fasadens plan. Kombinationen av de tre planen antas ha skett enligt följande: för det första kombinerades sidovyns plan genom rotation omkring om med fasadens plan; sedan var båda, genom att rotera omkring MN , inriktade med planens plan, vilket är ritningens plan. Det är inte svårt att se att i detta fall kommer avståndet a"s i sidovyn a"' för punkten a från MN att vara lika med a o a" och avståndet a'" från om kommer att vara lika med a o a'. Från detta får vi följande konstruktion: när a' och a" , så ritar vi vinkelrät mn till MN och släpper vinkelrät a'q från a' till det ; med radien oq beskriver vi en båge från mitten o som skär MN vid punkt s ; från s återställer vi vinkelrätt mot MN. Skärningen av denna vinkelrät med linjen dragen genom fasaden a" parallellt med MN , och kommer att vara sidovy a'" .

Polygon sidovy definition

Om planen och fasaden av polygonens sidor ges (fig. 8) och följaktligen dess hörn, då bygger vi sidovyerna av hörnen, kommer vi också att få en sidovy av polygonen. Med många punkter som vi har att göra med i ritningen är det bekvämt att beteckna dem med siffror.

En liknande teknik för att konstruera en "sidovy" (mer exakt, en profilprojektion eller en vänstervy) från designerns synvinkel tillåter inte en framgångsrik layout av ritningen. För att säkerställa det senare är användningen av koordinataxlar olämplig, eftersom det begränsar ritningens layout, vilket tvingar dig att hela tiden behålla samma avstånd mellan front-, topp- och vänstervyer, vilket oftast är oönskat. För att bygga en tredje enligt två typer av originalet är det bekvämt att arrangera ritningen, istället för koordinataxlarna, kommer "referensbaser" knutna till bilder (vyer) att hjälpa.

Projicera en ruta

Vanligtvis sätts de i en sådan position av planen på planen och fasaden, där det givna föremålet projiceras på dem med en enkel ritning, och redan enligt denna plan och fasad bygger de en projektion av föremålet på ett sådant plan på vilken den avbildas i all sin komplexitet. Den ursprungliga planen och fasaden kan till och med väljas så att vissa dimensioner av objektet inte förvrängs på dem. Vi kommer att visa detta i följande exempel på bilden av en parallellepiped (Fig. 9).

Föreställ dig att parallellepipeden ligger med en av sina kanter på planens plan, och dess bak- och frontbas är parallella med fasadens plan. Sedan projiceras dessa fundament på fasaden, överlappande varandra (döljer varandra), men i sin verkliga form. En projektion erhålls på planen, där värdet av kanterna parallella med planen bevaras. Låt oss mentalt rotera parallellepipeden runt en viss vertikal och ta den lite åt sidan. Då kommer hans plan att vända i samma vinkel och tas åt sidan. För att få planen för den nya positionen ritar vi en rät linje 1'3', som gör en viss vinkel med riktningen 1 3 i den tidigare planen, och på denna linje bygger vi en figur lika med den tidigare planen med hjälp av metoderna för vanlig geometri. Topparna på fasaden på den nya positionen kommer att ligga på vinkelräta punkter som sänks från hörnen på den nya planen till ett gemensamt snitt. Dessutom kommer de att ligga på parallellerna som dras från hörnen på den tidigare fasaden till det gemensamma snittet, eftersom under nämnda rörelse av parallellepipeden förblev dess hörn på samma höjd från planens plan. Så skärningspunkterna mellan de nämnda perpendikulerna och parallellerna kommer att vara topparna på den nya fasaden. Genom att koppla ihop dem och med svagare särdrag avbilda linjerna som skyms av parallellepipeden, får vi en sådan bild av den, där alla dess 12 kanter redan är synliga. När det gäller bilden av en parallellepiped räcker det att avbilda dess kanter, och för bilden av en krökt yta räcker det att avbilda dess mest karakteristiska linjer, mellan vilka den synliga konturen är av största vikt -  kurvan längs vilken de utskjutande linjerna röra vid ytan.

Skärningen mellan två cirkulära cylindrar

För att klargöra det sätt på vilket krökta ytor avbildas, låt oss överväga tillämpningen av H. geometri på följande praktiska fråga. Det är nödvändigt att ansluta två rör nitade från pannplåt till varandra, så att ett rör, som är vinkelrätt mot det andra, skulle skära in i det med mer än hälften av dess tjocklek. För att göra detta bör ett fönster göras i ett av rören (låt oss säga i det större), vilket naturligtvis är bekvämare att göra i arket från vilket det stora röret är gjort, medan det inte är ännu nitade. Det är nödvändigt att bestämma formen på fönstret som ska skäras i plåten som används för att förbereda ett stort rör.

Låt (fig. 10) planens plan vara vinkelrätt mot det stora röret, och fasadens plan vara parallellt med båda rörens axlar. Då kommer planen för det stora röret att vara cirkeln 036 och dess fasad kommer att representeras av rektangeln ABCD. Planen för den lilla skorstenen blir mnpq och fasad abcd. Låt HF vara fasaden på det lilla rörets diametrala och planparallella plan. På nm , liksom på diametern, beskriver vi bågen nsm. Låt oss ta lite generatris h5 av ett litet rör och bestämma fasaden på den punkt där rören skär varandra som ligger på denna generatris och vars plan därför är punkt 1. Den önskade fasaden på punkten måste för det första ligga på en vinkelrät nedsänkt på ett gemensamt snitt från punkt 1. För det andra kommer det att ligga från HF på en höjd HS lika med hs. Så, punkten S är den nödvändiga fasaden. Genom att specificera andra generatorer och bygga fasaderna för de ömsesidiga skärningspunkterna för rören erhålls ett antal punkter, vars anslutning kommer att vara fasaden på korsningen av rören. Låt oss nu utöka halvcirkeln 036. Denna uppgift kan endast utföras ungefär. Det löses med tillräcklig approximation om vi tar längden av en halvcirkel som summan av sidan av en inskriven kvadrat och sidan av en vanlig inskriven triangel. Sidan av den inskrivna kvadraten kommer att vara ackordet 36 , sidan av triangeln är ackordet 04 , om siffrorna indikerar halvcirkelns uppdelning i 6 delar. Summan av dessa ackord är avsatt på en speciell ritning (fig. 11) och uppdelad i 6 delar. Låt PQ motsvara det nämnda diametralplanet för det lilla röret: det ska dras parallellt med den räta linjen 012... på ett avstånd OP=AE. Genom att från division 1 återställa vinkelrät mot linjen 012... och avsätta på den från dess skärning med PQ värdet h's'=hs=HS , får vi punkten s' för den önskade kurvan, längs vilken fönstret ska skäras ut i blad MN . Genom att erhålla andra punkter i den önskade kurvan på samma sätt, bestämmer vi just denna kurva som visas på ritningen (fig. 11).

Historik

Beskrivande geometri utvecklades av G. Monge 1760-1770, då han som lärare vid ingenjörshögskolan i Mézières anförtroddes den svåra uppgiften att beräkna reliefen av befästningar.

Det är nära besläktat med teorin om skuggor och till metoden för axonometriska projektioner .

Introduktion

Beskrivande geometri är en av de discipliner som ligger till grund för ingenjörsutbildningen .

Ämnet för deskriptiv geometri är presentation och motivering av metoder för att avbilda och konstruera tredimensionella föremål på ett tvådimensionellt ritplan och metoder för att lösa problem av geometrisk (ritnings)karaktär med dessa bilder.

Bilder byggda enligt reglerna för beskrivande geometri tillåter:

Beskrivande geometri är den teoretiska grunden för den praktiska implementeringen av tekniska ritningar, vilket säkerställer deras uttrycksfullhet och noggrannhet . Och följaktligen möjligheten till adekvat tillverkning enligt ritningarna av verkliga delar och strukturer.

Längden på ett linjesegment

Ett linjesegment beläget i rymden parallellt med vilket projektionsplan som helst projiceras på detta plan i verklig storlek (det vill säga utan distorsion).

Längden på ett rät linjesegment enligt dess projektioner definieras som hypotenusan av en rätvinklig triangel , vars ena ben är en av projektionerna av detta segment, och det andra benet är det absoluta värdet av den algebraiska skillnaden mellan avstånden från ändarna av den andra projektionen av segmentet till projektionsaxeln .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge och hans "Descriptive Geometry" / Appendix till Gaspard Monges bok "Descriptive Geometry" / Översättning av V. F. Gaze Under allmän redaktion av Kravets T. P. - 1. - Leningrad, USSRs vetenskapsakademi, 1947. - S. 254. - 291 sid.
  2. ↑ Gaspar Monge. Beskrivande geometri / Översatt av Gaze V.F. Under allmän redaktion av Kravets T.P. - 1. - Leningrad, USSRs vetenskapsakademi, 1947. - S. 23. - 291 s.
  3. ↑ 1 2 3 Beskrivande geometri . CADI-instruktör (5 juli 2018). Hämtad 9 november 2019. Arkiverad från originalet 9 november 2019.
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Kurs i beskrivande geometri / Redigerad av Ivanov Yu. B. - 23. - Moskva: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 sid.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger