Fixpunkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En fast punkt i matematik är en punkt som en given mappning översätter till den, med andra ord en lösning på en ekvation . $f(x)=x$

Till exempel har kartläggningen fixpunkter och , därför att och . $f(x)=x^2-3x+3$ $x=1$ $x=3$ $f(1)=1$ $f(3)=3$

Inte varje mappning har fasta punkter - säg, mappningen av en verklig linje i sig själv har inga fixpunkter. $f(x)=x+1$

Poäng som återgår till sig själva efter ett visst antal iterationer, det vill säga att lösa ekvationen

f(f(\prickar f(x)\prickar))=x

kallas periodiska (i synnerhet fasta punkter är periodiska punkter av period ). $ett$

Attraktiva fasta punkter

En fast punkt på displayen är attraktiv om resultatet av successiv applicering till någon punkt tillräckligt nära tenderar att : $x=f(x)$ $f$ $f$ $y$ $x$ $x$

\underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\högerpil x,\quad n\högerpil \infty

I det här fallet krävs vanligtvis att resultatet av varje iteration inte lämnar någon större grannskap av punkten - det vill säga att punkten är asymptotiskt stabil . $x$ $x$

Särskilt ett tillräckligt villkor för att en punkt ska locka är villkoret . $|f'(x)|<1$

Newtons metod

En tillämpning av idén om en attraherande fixpunkt är Newtons metod : lösningen av en ekvation visar sig vara en attraherande fixpunkt för en viss kartläggning, och kan därför hittas som gränsen för en mycket snabbt konvergerande sekvens av tal som erhålls genom dess upprepade tillämpning.

Det mest kända exemplet på denna metod är kvadratroten ur ett tal som gränsen för iterationer av mappningen $a\geqslant 0$

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

Se även

Litteratur

Kolmogorov AN , Fomin SV Element i funktionsteorin och funktionsanalys . - M.: Nauka, 1976. - Ch. 2, punkt 4.
Krasnoselsky M. A. , Zabreiko P. P. Geometriska metoder för olinjär analys. - M.: Nauka, 1975. - Ch. 5.
Agarwal R.P., Meehan M., O'Regan D. Fixed Point Theory and Applications. - Cambridge University Press , 2001. - ISBN 0-521-80250-4 .
Borisovich Yu. G. , Gel'man BD, Myshkis AD , Obukhovskii VV Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. - Vol. 24, nummer 6, s. 719-791.
Fitzpatrick PM, Petryshyn WV Fixpunktssatser för flervärdiga icke-kompakta acykliska mappningar // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Shashkin Yuri Alekseevich, Fixed Points, "NAUKA", Moskva, 1989.