Bernoullis ojämlikhet

Bernoullis ojämlikhet säger [1] : om , då $x>-1$

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

för alla naturliga

n\geqslant 1.

Bevis

Beviset för ojämlikheten utförs med metoden matematisk induktion på n . För n = 1 är olikheten uppenbarligen sann. Låt oss säga att det är sant för n , låt oss bevisa att det är sant för n +1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Generaliserad Bernoulli ojämlikhet

Den generaliserade Bernoulli-ojämlikheten säger [1] att för och : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

om , då $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
om , då $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
medan jämlikhet uppnås i två fall: $\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.$

Bevis

Överväg , och . Derivat vid , sedan . Funktionen är dubbelt differentierbar i en punkterad omgivning av punkten . Därför . Vi får: $f(x)=(1+x)^n-nx \!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \neq 0 \!\$
$f\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ kl $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ kl $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

Funktionens värde är därför följande påståenden sanna: $f(x_0)=1 \!\$

om , då $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
om , då $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Det är lätt att se att för motsvarande värden för eller , funktionen . I detta fall, i den slutliga ojämlikheten, försvinner restriktionerna på , som ges i början av beviset, eftersom jämlikhet gäller för dem. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $n\!\$

Anteckningar

Olikheten är också giltig för (at ), om vi exkluderar fallet när noll erhålls till noll potens . Beviset för fallet kan utföras med samma metod för matematisk induktion: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\in\vänster[-2,-1\höger)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

Sedan när är nöjd , då . $x\in\vänster[-2,-1\höger)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$

Anteckningar

↑ 1 2 Bronstein, Semendyaev, 1985 , sid. 212.

Litteratur

Bronshtein IN , Semendyaev KA Handbok i matematik för ingenjörer och gymnasieelever . - ed. 13:e. - M. : Nauka, 1985. - 544 sid.