Hölders ojämlikhet

Hölders ojämlikhet i funktionsanalys och relaterade discipliner är en grundläggande egenskap hos utrymmen . $L^{p}$

Formulering

Låta vara ett utrymme med mått , och vara ett utrymme av funktioner av formen med en ändlig integrerbar ‑th grad. Sedan definieras seminormen i den senare : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \to \mathbb{R}$ $sid$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{{1/ p}}

där , antas vanligtvis vara ett naturligt tal. $p\geq 1$

Låt , och , var . Sedan , och $f \in L^p$ $g\in L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Bevis

Låt oss omformulera Hölders ojämlikhet genom att uttrycka normerna i termer av motsvarande integraler.
Låta vara ett utrymme med mått , , mätbart. Sedan: Som bevis använder vi följande påstående ( Youngs ojämlikhet ): $X$ $\mu$ $E\delmängd X$ $E$
$f\in L^{{p}},g\in L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Högerpil \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Högerpil a^{{1/p}}b^{{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Låt oss sätta
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Om vi tillämpar ojämlikheten får vi:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\right)$

Observera att den högra sidan av ojämlikheten kan summeras över en mängd (därav följer även summerbarheten av den vänstra sidan). Genom att integrera ojämlikheten över får vi: Hölders ojämlikhet är bevisad. Notera: Om eller är lika med 0, betyder detta att eller är ekvivalenta med noll på , och Hölders olikhet gäller uppenbarligen. $E$ $E$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 }{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$I_1$ $I_{2}$ $f$ $g$ $E$

Specialfall

Cauchy-Bunyakovsky ojämlikheten

Inställningen får vi Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten för utrymmet . $p=q=2$ $L^{2}$

Euklidiska rymden

Tänk på det euklidiska utrymmet eller . -norm i detta utrymme har formen: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}

och då

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\right)^{{1/q}},\;\forall x,y\in E

Mellanslag l p

Låt vara ett räknebart mått på . Då är uppsättningen av alla sekvenser sådan att: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=\summa _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty

ringde . Hölders ojämlikhet för detta utrymme har formen: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }} |y_{n}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

Sannolikhetsutrymme

Låt vara ett sannolikhetsutrymme . Sedan består den av slumpvariabler med ett slutmoment : , där symbolen anger den matematiska förväntan . Hölders ojämlikhet i detta fall har formen: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $sid$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

Se även

Litteratur

Sobolev S.L. Några tillämpningar av funktionsanalys i matematisk fysik. — 3:e uppl., reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1988. — 336 sid. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. En kort kurs i teorin om en funktion av en reell variabel. - 2:a uppl., reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1973. — 352 sid.