Hölders ojämlikhet i funktionsanalys och relaterade discipliner är en grundläggande egenskap hos utrymmen .
Låta vara ett utrymme med mått , och vara ett utrymme av funktioner av formen med en ändlig integrerbar ‑th grad. Sedan definieras seminormen i den senare :
,där , antas vanligtvis vara ett naturligt tal.
Låt , och , var . Sedan , och
.Låt oss omformulera Hölders ojämlikhet genom att uttrycka normerna i termer av motsvarande integraler.
Låta vara ett utrymme med mått , , mätbart. Sedan:
Som bevis använder vi följande påstående ( Youngs ojämlikhet ):
Låt oss sätta
Om vi tillämpar ojämlikheten får vi:
Observera att den högra sidan av ojämlikheten kan summeras över en mängd (därav följer även summerbarheten av den vänstra sidan). Genom att integrera ojämlikheten över får vi:
Hölders ojämlikhet är bevisad. Notera: Om eller är lika med 0, betyder detta att eller är ekvivalenta med noll på , och Hölders olikhet gäller uppenbarligen.
Inställningen får vi Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten för utrymmet .
Tänk på det euklidiska utrymmet eller . -norm i detta utrymme har formen:
,och då
.Låt vara ett räknebart mått på . Då är uppsättningen av alla sekvenser sådan att:
,ringde . Hölders ojämlikhet för detta utrymme har formen:
.Låt vara ett sannolikhetsutrymme . Sedan består den av slumpvariabler med ett slutmoment : , där symbolen anger den matematiska förväntan . Hölders ojämlikhet i detta fall har formen:
.