Markov ojämlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 februari 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Markovs olikhet i sannolikhetsteorin ger en uppskattning av sannolikheten för att en icke-negativ stokastisk variabel i absolut värde kommer att överstiga en fast positiv konstant, i termer av dess matematiska förväntan . Även om den resulterande uppskattningen vanligtvis är grov, ger den en viss uppfattning om fördelningen när den senare inte är känd explicit.

Formulering

Låt en icke-negativ slumpvariabel definieras på sannolikhetsutrymmet och dess matematiska förväntan vara ändlig. Sedan ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\mathbb {E}}X$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a))

var . $a>0$

Exempel

1. Låta vara en icke-negativ slumpvariabel. Sedan tar vi, vi får $X\geqslant 0$ $a=2{\mathbb {E}}X$

{\mathbb {P}}(X\geqslant 2{\mathbb {E}}X)\leqslant {\frac {1}{2}}

2. Låt eleverna vara 3 minuter försenade i snitt, och vi är intresserade av hur stor sannolikheten är att en elev blir 15 minuter eller mer försenad. För att få en grov uppskattning från ovan kan du använda Markov-ojämlikheten:

\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2

Bevis

Låt en icke-negativ stokastisk variabel ha en distributionstäthet , då för $X$ $p(x)$ $a>0$

\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty }xp(x)dx\geqslant \int _{ a}^{\infty }ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)

Samband med andra ojämlikheter

Om vi ersätter en slumpvariabel istället för en slumpvariabel i olikheten , får vi Chebyshev-olikheten : $X$ $(Y-\mathbb {E} Y)^{2}$

\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac ({\textrm {Var))(Y)}{b^{2))} .

Och vice versa, representerar en icke-negativ slumpvariabel som en kvadrat av en annan slumpvariabel , så att , Från Chebyshev ojämlikhet för vi får Markov olikhet för . Fördelningen av en slumpvariabel definieras enligt följande: , . $X$ $X=Y^{2}$ $\mathbb {E} Y=0$ $Y$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (X>a)/2$ $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$

Om en godtycklig positiv icke-minskande funktion, då $\phi(x)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[\phi (X)\right]}{\phi (a)))

I synnerhet för , för alla ${\displaystyle \phi (x)=e^{xt))$ $t\geqslant 0$

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at))}= {\frac {M_{X}(t)}{e^{at))))

var är momentens genererande funktion . Genom att minimera den högra sidan med avseende på , får vi Chernovs ojämlikhet . $M_{X}(t)$ $t$

Chernovs ojämlikhet ger en bättre uppskattning än Chebyshevs ojämlikhet, och Chebyshevs ojämlikhet ger en bättre uppskattning än Markovs ojämlikhet. Detta är inte förvånande, eftersom Markovs ojämlikhet förutsätter kunskap om endast det första momentet av den slumpmässiga variabeln , Chebyshevs - det första och andra, Chernovs - alla ögonblick. $X$

Se även

Länkar

Videoföreläsning om slumpvariabler, Markov och Chebyshev ojämlikheter