Pidos ojämlikhet

Pidot-ojämlikheten (även Pidot-Neuberg- ojämlikheten) är en ojämlikhet i geometri uppkallad efter Daniel Pidot (1910-1998) och Joseph Neuberg (1840-1926). Ojämlikheten säger att om , , och , , är längden på sidorna av trianglar och , a och är deras områden, då $a$ $b$ $c$ $a'$ $b'$ $c'$ $ABC$ $A'B'C'$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

och jämlikhet uppnås om och endast om dessa trianglar är lika med par av motsvarande sidor och . $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$

Uttrycket till vänster är inte bara symmetriskt för permutationer av paren , och , utan också (vilket kanske inte är så uppenbart) förblir oförändrat om och , och , och är utbytta . Med andra ord är uttrycket till vänster en symmetrisk funktion av ett par trianglar. $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$ $a$ $a'$ $b$ $b'$ $c$ $c'$

Ett specialfall av Pidos ojämlikhet, där en av trianglarna är liksidig , är Weizenbocks ojämlikhet .

Pido upptäckte denna ojämlikhet 1941 och publicerade den i flera tidningar. Han fick senare veta att ojämlikheten var känd för Neuberg redan på 1800-talet, som dock inte bevisade att jämlikhet innebär likheten mellan två trianglar.

Litteratur

Daniel Pedoe: An Inequality Connecting Any Two Triangles . The Mathematical Gazette, vol. 25, nr. 267 (dec., 1941), sid. 310-311 ( JSTOR Arkiverad 18 augusti 2016 på Wayback Machine )
Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality . The American Mathematical Monthly , volym 70, nummer 9, sidan 1012, november 1963.
Daniel Pedoe: En ojämlikhet för två trianglar . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volym 38, del 4, sidan 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, sid. 108 Arkiverad 18 augusti 2016 på Wayback Machine
DS Mitrinović, Josip Pečarić: Om Neuberg-Pedoe och Oppenheim ojämlikheterna . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 januari 1988 ( onlinekopia Arkiverad 7 augusti 2016 på Wayback Machine )