Symmetrisk funktion

En symmetrisk funktion av n variabler är en funktion vars värde på valfri n - tuppel av argument är detsamma som värdet på varje permutation av denna n -tuppel [1] . Om till exempel , kan funktionen vara symmetrisk på alla variabler eller par , eller . Även om det kan hänvisa till alla funktioner för vilka n argument har samma domän, hänvisar det oftast till polynom , som i det här fallet är symmetriska polynom . Utanför polynom är teorin om symmetriska funktioner dålig och lite använd. Det exakta antalet variabler är vanligtvis inte viktigt, man tror att det helt enkelt finns ganska många av dem. För att göra denna idé mer rigorös används den projektiva gränsen för att passera till den så kallade ringen av symmetriska funktioner , som formellt innehåller ett oändligt antal variabler. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ $(x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{3})$ $\lambda$

Symmetrisering

Givet vilken funktion f som helst av n variabler med värden i en abelsk grupp (det vill säga i en grupp med en kommutativ operation), kan en symmetrisk funktion konstrueras genom att summera värdena på f över alla permutationer av argumenten. På liknande sätt kan den antisymmetriska funktionen konstrueras som summan över alla jämna permutationer , från vilken summan över alla udda permutationer subtraheras. Dessa operationer är naturligtvis irreversibla och kan leda till en identisk nollfunktion för en icke-trivial funktion f . Det enda fallet där f kan återställas när funktionens symmetrisering och antisymmetrisering är kända är när n = 2 och den abelska gruppen kan delas med 2 (inversen av dubblering). I detta fall är f lika med halva summan av symmetrisering och antisymmetrisering.

Ring av symmetriska funktioner

Betrakta verkan av en symmetrisk grupp på en polynomring i n variabler. Det fungerar genom att permutera variabler. Som nämnts ovan är symmetriska polynom exakt de som inte förändras under verkan av elementen i denna grupp. Således bildar de en subring: ${\displaystyle S_{n))$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n))

I sin tur är en graderad ring : $\Lambda _{n}$

{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))

, där består av homogena symmetriska polynom av grad k , samt ett nollpolynom.

{\displaystyle \Lambda _{n}^{k))

Därefter, med hjälp av den projektiva gränsen , definierar vi ringen av symmetriska funktioner av grad k :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Slutligen får vi en graderad ring , som kallas ringen av symmetriska funktioner. ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))$

Anmärkningar.

$\lambda$ är inte en projektiv gräns (i kategorin ringar). Till exempel finns en oändlig produkt inte i , eftersom innehåller monomialer av godtyckligt hög grad. ${\displaystyle \Lambda _{k))$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
"Determinant" har heller ingen motsvarighet i . $(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2}$ $\lambda$

Baser i utrymmet för symmetriska funktioner

Monomial basis. För varje partition definierar vi ett monom . Det är inte ett symmetriskt polynom och innehåller också endast ett ändligt antal variabler som anger det med en grad som inte är noll. Låt oss nu summera uppsättningen monomer som erhålls från den med alla möjliga permutationer av index (varje monomial summeras bara en gång, även om det kan erhållas med flera olika permutationer): . Det är lätt att förstå att sådana som utgör en grund , och därför alla utgör en bas , som kallas monomial. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ $x_{\alpha }^{\lambda }$ $\alfa$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\summa _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $|\lambda |=n$ ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $\lambda$

Elementära symmetriska funktioner. För varje heltal definierar vi — summan av alla möjliga produkter från r olika variabler. Alltså för : $r\geq 0$ ${\displaystyle e_{r))$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\summa _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

För varje partition är den elementära symmetriska funktionen De utgör en bas i rymden .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

\lambda

Kompletta symmetriska funktioner. För varje heltal definierar vi — summan av alla monomfunktioner av grad r . Alltså för : $r\geq 0$ ${\displaystyle h_{r))$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\summa _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Vidare, som i fallet med elementära funktioner, ställer vi in

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Power summor. För varje kallas effektsumman . $r\geq 1$ ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))$

För partitionering definieras effektsumman som $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Identiteter.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\summa _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , för alla k > 0 ,
${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , för alla k > 0 ,
${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , för alla k > 0 .

Relationer för att generera funktioner.

Det är lätt att visa det $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Också $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Av detta följer förhållandet $H(t)E(-t)=1$

Slutligen ,. $P(t)=\summa _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\summa _{i\geq 1}\summa _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\summa _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\summa _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Vi får likadant . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Schur funktioner . Låt det finnas ett ändligt antal variableroch en partitionså att(längden på partitionen inte överstiger antalet variabler). Då är Schurpolynomet för en partitioni n variablerett homogent symmetriskt polynom av grad. At, dessa polynom konvergerar till ett enda element, som kallas Schur - partitionsfunktionen. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))$ $\lambda$ $l(\lambda )\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\högerpil \infty$ $s_{\lambda }\in \Lambda$ $\lambda$

Jacks funktioner . Med introduktionen av en speciell skalär produktkommer en generalisering av Schur-funktionerna att bevara många av deras egenskaper. $\lambda$

Applikationer

U-statistik

I statistik ger en n -sampelstatistik (en funktion av n variabler) erhållen genom att bootstrapsymmetrisera en statistik på ett urval av k element en symmetrisk funktion av n variabler, kallad U-statistiken . Exempel inkluderar urvalets medelvärde och urvalsvariansen .

Se även

Elementära symmetriska polynom
Kvasi-symmetrisk funktion
Ring av symmetriska funktioner

Anteckningar

↑ Van der Waerden, 1979 , sid. 121.

Litteratur

Macdonald IG Symmetriska funktioner och ortogonala polynom. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Symmetriska funktioner och hallpolynom. andra upplagan. Oxford matematiska monografier. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 s. ISBN 0-19-853489-2 1:a upplagan (obestämd tid) . — 1979.
McDonald I. Symmetriska funktioner och Hallpolynom. -Mir, 1984. - 224 sid.
David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 sid. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Symmetriska funktioner, sid. 222–225.
— §5.7. Symmetriska funktioner över ändliga fält, sid. 259–270.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : "Nauka", 1979.
- §33. Symmetriska funktioner, sid. 121.