Schur polynom

Schur- polynom är symmetriska polynom i variabler av en speciell form, uppkallade efter I. Schur , parametriserade av partitioner av icke-negativa heltal till en summa av oordnade termer, eller, vilket är detsamma, av Young-diagram med högst kolumner. Koefficienterna för deras tilldelning som polynom i Newtons elementära symmetriska polynom är relaterade till värdena för tecknen i motsvarande representationer av den symmetriska gruppen . $n$ $n$ $n$ $S_{n}$

Formell definition

Schur-polynomet som motsvarar partitionen är [1] $\lambda ,$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj})_{i, j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}.

Det finns också formler som uttrycker Schur-polynom i termer av elementära symmetriska polynom och fullständiga symmetriska polynom : ${\displaystyle e_{r))$ ${\displaystyle h_{r))$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n }

, var ,

n\geq l(\lambda )

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}

, var är partitionen konjugat till , och även .

\lambda '

\lambda

m\geq l(\lambda ')

I synnerhet och . $s_{(n)}=h_{n}$ $s_{(1^{n})}=e_{n}$

Förbindelse med representationer av den symmetriska gruppen

Schur-polynomet , som motsvarar Young-diagrammet , uttrycks i termer av Newtons elementära symmetriska polynom med koefficienter uttryckta i termer av teckenvärden , motsvarande representationen av den symmetriska gruppen . Nämligen, $s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)$ $\lambda=(\lambda_1,\prickar,\lambda_n)$ $p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k$ $\chi_{\lambda}$ $\lambda$ $S_{n}$

s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p ^{r_k}_k}{r_k!},

där notationen betyder att det i konjugationsklassen finns längdcykler i expansionen av substitutionen till disjunkta cykler . $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)$ $\rho$ $r_j$ $j$

Länkar

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, " Shifted Schur functions ", Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146