Ungt diagram

Unga diagram  är ett visuellt sätt att beskriva representationer av symmetriska och kompletta linjära grupper och studera deras egenskaper.

Historik

Unga diagram föreslogs av Alfred Jung , en matematiker vid University of Cambridge , 1900 [1] [2] . Därefter, 1903, användes de av Georg Frobenius för att studera symmetriska grupper.

Ytterligare utveckling av Young-diagram kan spåras i verk av många matematiker som Percy McMahon , William Hodge , Gilbert Robinson , Jean-Carlo Rota , Alain Lascou och Marcel-Paul Schutzenberger .

Definitioner

Obs! Den här artikeln använder engelsk notation för diagram och tabeller .

Diagram

Ett Young-diagram (även kallat ett Ferret-diagram när prickar [3] används istället för celler ) är en ändlig uppsättning vänsterjusterade celler eller celler där radlängder bildar en icke-ökande sekvens (varje rad har samma längd som föregående, eller kortare). Uppsättningen av tal, som består av längderna på linjerna, definierar en partition λ av ett icke-negativt heltal n , vilket är lika med det totala antalet celler i diagrammet. På liknande sätt sägs en given partition λ ge formen av motsvarande Young-diagram.

Inkluderandet av ett Young-diagram i ett annat definierar en partiell ordning på uppsättningen av alla partitioner, vilket i sin tur definierar en struktur som kallas Young lattice .

Partitionen som ges av det transponerade Young-diagrammet kallas partitionskonjugatet eller transponeras till λ .

Om den franska notationen av unga diagram

Det är vanligt att beteckna celler med ett par heltal, varav det första motsvarar radnumret i diagrammet och det andra mot kolumnnumret i den raden. Det finns dock två olika konventioner för hur diagrammen ska ritas: antingen raderna nästa under den föregående eller tvärtom. Den förra används ofta bland engelsktalande , medan den senare bland fransktalande , så i skämtterminologi kallas dessa konventioner engelsk notation respektive fransk notation . Till exempel, i sin bok om symmetriska funktioner , rekommenderar Macdonald läsare som föredrar fransk notation "läser boken upp och ner i en spegel" [4] .

Den engelska notationen motsvarar den allmänt accepterade för numrering av matriselement, och den franska ligger närmare konventionen om notation av kartesiska koordinater (även om för unga diagram är den vertikala koordinaten fortfarande den första). Figuren till höger i engelsk notation visar Young-diagrammet för partitionen (5, 4, 1). Den konjugerade partitionen som mäter kolumnhöjder är (3, 2, 2, 2, 1).

Tabeller

En ung tablå är ett ungt diagram vars celler är fyllda med symboler från något alfabet , som vanligtvis antas vara en välordnad uppsättning . Från början var alfabetet tänkt att vara en uppsättning numrerade variabler x 1 , x 2 , x 3 ..., men nu, för korthetens skull, används naturliga tal oftare. I sin klassiska tillämpning på representationsteorin för symmetriska grupper är Youngs tabeller fyllda med n olika nummer, godtyckligt inskrivna i cellerna i diagrammet. En tabell kallas standard om siffrorna ökar i varje rad och i varje kolumn. Antalet olika standard Young-tablåer med n element beskrivs av antalet involutioner i den symmetriska gruppen av ordning n :

1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, ... (sekvens A000085 i OEIS ).

I andra applikationer kan det vara naturligt att låta vissa nummer upprepas (och inte använda några alls). En tabell kallas semi -standard om siffrorna inte minskar horisontellt och ökar vertikalt. Genom att skriva ut hur många gånger varje nummer förekom i tabellen får vi en sekvens som kallas tabellens vikt . Därför är Young standardborden exakt samma som halvstandardviktborden (1,1,...,1).

Variationer

Det finns variationer på tabelldefinitionen: till exempel i en "radstrikt" tabell ökar siffrorna strikt längs raderna och ökar inte längs kolumnerna. Tabeller med minskande antal behandlas i teorin om plana partitioner . Det finns andra generaliseringar (dominotablåer, bandtablåer) där celler kan kombineras innan de tilldelas nummer.

Youngs sneda tabeller

En skev form  är ett par partitioner ( λ , μ ) så att Young-diagrammet för λ innehåller diagrammet för μ ; notation: λ / μ . Om λ =( λ 1 , λ 2 ,…) och μ =( μ 1 , μ 2 ,…), betyder inbäddning av diagram att μ i ≤ λ i för alla i . Skevningsdiagrammet för skevningsformen λ / μ  är den mängdteoretiska skillnaden mellan diagrammen för λ och för μ : mängden kvadrater som hör till diagrammet för λ men som inte hör till diagrammet för μ . En skevningstabell av formen λ / μ erhålls genom att fylla i cellerna i motsvarande skevningsdiagram; en sådan tabell kallas semistandard om siffrorna inte minskar i rader och ökar i kolumner; en halvstandardtabell kallas standard om varje tal från ett till antalet celler förekommer exakt en gång. Även om mappningen från partitioner till deras Young-diagram är injektiv, är detsamma inte sant för mappningen från skeva former till skeva diagram; [5] Även om många egenskaper hos skevningstabeller endast beror på de fyllda rutorna, kan vissa också bero på skevningsformen. Unga tablåer kan identifieras med skeva tablåer för vilka plattsättningen μ är tom (plattsättningen av noll).

Varje sned halvstandardtabell T av formen λ / μ , fylld med positiva heltal, genererar en sekvens av partitioner (eller en sekvens av Young-diagram): det första elementet är μ , och det i: -elementet erhålls genom att lägga till alla celler som innehåller ett tal mindre än eller lika med i ; så småningom erhålls ett diagram λ . Vilket par som helst av angränsande former i denna sekvens bildar en sned form med högst en cell i varje kolumn; sådana former kallas horisontella ränder . Denna sekvens definierar tablået T , och ibland i litteraturen (till exempel i Macdonalds bok) definieras sneda halvstandardformer som sekvenser av detta slag.

Applikationer

Unga diagram har många tillämpningar inom kombinatorik , representationsteori och algebraisk geometri . Olika sätt att räkna antalet diagram undersöktes, vilket ledde till definitionen och formlerna för Schur-polynomen . Det finns många kända algoritmer som körs direkt på diagram, som Schützenbergers jeu de taquin ("taggspelet") och Robinson-Schoensted-Knuth-korrespondensen . Lasko och Schützenberger studerade den associativa produkten på en uppsättning halvstandardiserade Young-diagram, vilket resulterade i en struktur som kallas den plastiska monoiden .

Inom representationsteorin beskriver de unga standardtablåerna av storlek k grunderna för irreducerbara representationer av den symmetriska gruppen Sk . Standardmonomialbasen i en ändlig dimensionell irreducerbar representation av den allmänna linjära gruppen GL n parametriseras av uppsättningen av semistandard Young-tablåer av en fast form över alfabetet {1, 2, …, n }. Flera viktiga implikationer för invariant teori följer av detta faktum , som börjar med Hodges arbete på homogena koordinatringar av Grassmannians , följt av arbete av Eisenbud och Jean-Carlo Rota , tillsammans med medförfattarna de Concini och Procesi . Littlewood-Richardson-regeln , som beskriver (bland annat) nedbrytningen av tensorprodukten av irreducerbara representationer av GL n till irreducerbara komponenter, är formulerad i termer av vissa sneda semistandardtabeller.

Tillämpningar i algebraisk geometri centrerar sig kring Schubert-kalkylen på Grassmannians och flaggmanifolder . Några viktiga kohomologiklasser kan representeras i termer av Schubert-polynom och beskrivas i termer av Young-diagram.

Tillämpningar i representationsteori

Unga diagram står i en en-till-en-överensstämmelse med de irreducerbara representationerna av den symmetriska gruppen (över de komplexa talen ). De ger ett bekvämt sätt att definiera Youngs symmetrisörer , som representationsteorin för den symmetriska gruppen bygger på . Många fakta om representationer kan härledas från motsvarande diagram. Nedan finns två exempel: vystorlek och begränsade vyer.

Unga diagram parametriserar också irreducerbara polynomrepresentationer av den fullständiga linjära gruppen GL n (när de innehåller högst n icke-tomma rader), samt irreducerbara representationer av den speciella linjära gruppen SL n (när de innehåller högst n − 1 icke -tomma rader). tomma rader) och irreducerbara komplexa representationer av de speciella enhetliga nSU (återigen, när de innehåller högst n − 1 icke-tomma strängar). I dessa fall spelas den centrala rollen av halvstandardtabeller med nummer som inte överstiger n (särskilt deras antal bestämmer representationernas dimension).

Hook formel

Dimensionen på den irreducerbara representationen π λ (motsvarande partitionen λ av numret n ) för den symmetriska gruppen S n är lika med antalet olika standard Young-tablåer som motsvarar partitionsdiagrammet. Detta antal kan beräknas med hjälp av krokformeln .

Längden på kroken ( x ) för cell x i diagrammet Y ( λ ) av formen λ är antalet celler i samma rad till höger plus antalet celler i samma kolumn nedan plus en (selva cellen) . Enligt krokformeln är dimensionen för den irreducerbara representationen n ! dividerat med produkten av längderna på alla krokar i diagrammet:

Bilden till höger illustrerar kroklängderna för skiljediagram 10 = 5 + 4 + 1. Därför

På liknande sätt är dimensionen av den irreducerbara representationen W ( λ ) av gruppen GL r som motsvarar partitionen λ för talet n (i högst r termer) lika med antalet halvstandardtablåer av formen λ (som endast innehåller tal från 1 till r ), vilket ges av formeln:

där index i numrerar raden och index j numrerar cellens kolumn. [6] Till exempel genererar partitionen (5,4,1) dimensionen för motsvarande irreducerbara representation av GL 7 -gruppen (linje för linje cellgenomgång):

Begränsade representationer

Representationen av den symmetriska gruppen S n på n element är också representationen av den symmetriska gruppen på n − 1 element , S n −1 . En irreducerbar representation av S n är dock inte nödvändigtvis en irreducerbar representation av S n −1 , utan kan vara en direkt summa av flera sådana representationer. Dessa representationer kallas begränsade representationsfaktorer .

Frågan om att bestämma sönderdelningen av den begränsade representationen av den givna irreducerbara representationen S n som motsvarar partitionen λ för talet n har följande svar. Alla Young-diagram beaktas, vilket kan erhållas från ett diagram av formen λ genom att ta bort en cell (som måste vara i slutet av dess rad och dess kolumn). Den begränsade representationen sönderfaller sedan till en direkt summa av irreducerbara representationer S n −1 motsvarande dessa diagram, som var och en förekommer exakt en gång i summan.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Knuth, Donald E. (2005), The Art of Programming, Volym 3: Sortering och sökning (2:a upplagan), Williams, Addison-Wesley, sid. 66  .
  2. ↑ Young, A. (1900), Om kvantitativ substitutionsanalys , Proceedings of the London Mathematical Society , Ser. 1 Vol. 33 (1): 97–145 , DOI 10.1112/plms/s1-33.1.97  . Se särskilt s. 133.
  3. ↑ R. Stanley Enumerativ kombinatorik. M: Mir, 1990. sid. 52.
  4. ↑ Macdonald, 1979 , sid. 2.
  5. ↑ till exempel kan ett skevningsdiagram som består av en enda kvadrat vid position (2,4) erhållas genom att ta bort deldiagrammet μ från diagrammet λ = (5,4,2,1) , eller på ett oändligt antal andra sätt . Generellt sett kommer alla skevningsdiagram för vilka uppsättningen av icke-tomma rader (eller icke-tomma kolumner) inte är kontinuerliga, eller inte innehåller en första rad (eller första kolumn), från mer än en snedställningsform.
  6. ↑ Predrag Cvitanovic. Gruppteori: fågelspår, lögner och exceptionella  grupper . - Princeton University Press , 2008. , ur. 9.28 och bilaga B.4

Litteratur

Länkar