Chebyshevs ojämlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 17 februari 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Chebyshevs ojämlikhet (eller Bieneme-Chebyshevs ojämlikhet ) är en ojämlikhet i måttteori och sannolikhetsteori . Den erhölls först av Bieneme 1853, och senare också av Chebyshev (i artikeln "On average values" från 1867).

Den ojämlikhet som används i måttteorin är mer generell, i sannolikhetsteorin används dess följd.

Chebyshevs teori om ojämlikhet i mått

Chebyshev-ojämlikheten i måttteorin beskriver förhållandet mellan Lebesgue-integralen och måttet . En analog till denna ojämlikhet i sannolikhetsteorin är Markov-ojämlikheten . Chebyshevs ojämlikhet används också för att bevisa inbäddningen av ett utrymme $L_{p}$ i ett svagt utrymme .

Formuleringar

Låt vara ett mellanslag med mått . Låt också $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$
- $A\in {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ kan summeras på en funktion $A$
- $c>0$ .

Då är ojämlikheten sann:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\phi (x)\mu (dx)

Mer allmänt:

Om är en icke-negativ verklig mätbar funktion som är icke-minskande på definitionsdomänen , då

g

\phi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{ A}g\circ \phi \,\mu (dx).

När det gäller utrymme : $L_{p}$

Låt . Sedan

\phi (x)\i L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

Chebyshevs ojämlikhet kan erhållas som en konsekvens av Markovs ojämlikhet.

Chebyshevs ojämlikhet i sannolikhetsteori

Chebyshevs olikhet i sannolikhetsteori säger att en slumpvariabel i allmänhet tar värden nära sitt medelvärde . Närmare bestämt ger den en uppskattning av sannolikheten att en slumpvariabel kommer att anta ett värde som är långt ifrån dess medelvärde.

Chebyshevs ojämlikhet är en konsekvens av Markovs ojämlikhet .

Formuleringar

Låt en slumpvariabel definieras på ett sannolikhetsutrymme och dess matematiska förväntan och varians vara ändlig. Sedan $X\kolon \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

var . $a>0$

Om , var är standardavvikelsen och , då får vi $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

I synnerhet avviker en slumpvariabel med finit varians från medelvärdet med mer än standardavvikelser, med en sannolikhet mindre än . Avviker från medelvärdet med standardavvikelser med en sannolikhet mindre än . Med andra ord, den slumpmässiga variabeln passar in i standardavvikelser med sannolikhet och standardavvikelser med sannolikhet $2$ $25\%$ $3$ $11.12\%$ $2$ $75\%$ $3$ $88.88\%$

För det viktigaste fallet med unimodala fördelningar stärker Vysochansky-Petunin-ojämlikheten avsevärt Chebyshev-ojämlikheten, inklusive fraktionen 4/9. Således inkluderar bunden i standardavvikelser värdena för den slumpmässiga variabeln. I motsats till normalfördelningen , där standardavvikelserna inkluderar värdena för en slumpvariabel. $3$ $95.06\%$ $3$ $99.73\%$

Se även

Litteratur

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - ed. fjärde, reviderad. - M. : Nauka, 1976. - 544 sid.

grupp av författare. Moskva matematisk samling. - M. , 1867. - T. 2.

Chebyshevs ojämlikhet

Chebyshevs teori om ojämlikhet i mått

Formuleringar

Chebyshevs ojämlikhet i sannolikhetsteori

Formuleringar

Se även

Litteratur

Länkar