Youngs ojämlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 juni 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Youngs ojämlikhet i matematik är en elementär ojämlikhet som används i beviset på Hölders ojämlikhet . Det är ett specialfall av den mer allmänna Young-Fenchel ojämlikheten.

Formulering

Låta och vara konjugerade indikatorer (d.v.s. siffror sådana att ). Sedan $a,b\geqslant 0$ $p,q >\!\ 1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$

ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}

Bevis

För eller ojämlikheten är uppenbar. För olikheten följer av den uppåtriktade konvexiteten ("konvexiteten") (denna egenskap kallas också konkavitet ) för den logaritmiska funktionen : för alla , $a=0$ $b=0$ $a>0$ $b>0$ $x_{1}$ $x_2>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Om vi lägger in den här ojämlikheten förstår vi det $\alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a, ~ x_2 = b,$

$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q))=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

vilket motsvarar Youngs ojämlikhet.

Alternativ

Bevis som ett specialfall av Young-Fenchel ojämlikhet. För en skalär funktion skrivs Young-Fenchel-ojämlikheten som:

f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x

var är Legendre-transformen av funktionen . $f^\stjärna(y) = \mathrm{max}_x(xy-f(x))$ $f(x)$

Om vi sätter , så ger Legendre-transformationen vid en punkt $f(x)=x^p/p$ $\bar y=\bar x^{p-1}$

f^\star(\bar y)=\bar x \bar y-\bar x^p/p=\bar y^q/q

var . Genom att ersätta den resulterande ojämlikheten med den ursprungliga ojämlikheten får vi det önskade resultatet. $1/q=1-1/p$

Notera

Jämlikhet uppnås om och endast om . $a^p = b^q$

Youngs ojämlikhet

Formulering

Bevis

Alternativ

Notera

Se även