Smith normal form

Smith-normalformen är en diagonal (inte nödvändigtvis kvadratisk) matris över den huvudsakliga idealdomänen , vars diagonala element är delbart med det föregående. Vilken matris som helst över huvudidealens domän kan reduceras till Smiths normala form genom att multiplicera vänster och höger med inverterbara matriser [1] .

Formulering

För vilken storleksmatris som helst över huvudidealernas domän finns det inverterbara matriser över och sådana att , där är delbart med . Här betecknar storleksmatrisen med de angivna diagonala posterna och nollor i de återstående positionerna. $A$ $m\ gånger n$ $R$ $R$ $B$ $C$ $BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $g_{i+1}$ ${\displaystyle g_{i))$ $\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $m\ gånger n$

Applikationer

Smiths normalformsats antyder den välkända satsen om strukturen av ändligt genererade moduler över principiella idealdomäner . I synnerhet, om är ringen av heltal, då ger Smiths normalform ett sats om strukturen av ändligt genererade Abeliska grupper, och om är ringen av polynom över ett algebraiskt slutet fält , då kan den användas för att härleda en sats på Jordan-formen av den linjära operatorn . $R$ $R=F[t]$ $F$

Se även

Hermitisk normalform

Anteckningar

↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 128.

Litteratur

Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .