Generaliserad metod för ögonblick

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 mars 2017; verifiering kräver 1 redigering .

Den generaliserade momentmetoden ( GMM ; engelska GMM - Generalized Method of Moments ) är en metod som används inom matematisk statistik och ekonometri för att uppskatta okända parametrar för fördelningar och ekonometriska modeller, vilket är en generalisering av den klassiska momentmetoden . Metoden föreslogs av Hansen 1982. Till skillnad från den klassiska metoden för moment, kan antalet begränsningar vara större än antalet uppskattade parametrar.

Essensen av metoden

Låt fördelningen av en slumpmässig vektor x bero på någon vektor med okända parametrar b (antalet parametrar är k ). Låt det också finnas några funktioner g(x, b) (deras antal q är inte mindre än antalet uppskattade parametrar), kallade momentfunktioner (eller helt enkelt moment ), för vilka man utifrån teoretiska överväganden antar att

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Grundidén med metoden för ögonblick är att använda, under momentförhållanden, istället för matematiska förväntningar, deras provanaloger - prov betyder

${\hat {m}}(b)=\överlinje {g(x,b)},$

som enligt de stora talens lag under tillräckligt svaga förhållanden asymptotiskt måste konvergera till de matematiska förväntningarna. Eftersom antalet villkor för moment i det allmänna fallet är större än antalet uppskattade parametrar, har detta system av begränsningar ingen unik lösning.

Den generaliserade metoden för moment (GMM) är en uppskattning som minimerar en positiv-definitiv kvadratisk form från provförhållanden till ögonblick där provmedel används istället för matematiska förväntningar:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

där W är någon symmetrisk positiv bestämd matris.

Viktmatrisen kan vara godtycklig (med hänsyn till positiv bestämdhet), men det har bevisats att att de mest effektiva är GMM-uppskattningar med en viktmatris lika med den inversa kovariansmatrisen för momentfunktioner . Detta är den så kallade effektiva GMM . $W=V_{g}^{{-1}}$

Men eftersom denna kovariansmatris inte är känd i praktiken, tillämpas en tvåstegsprocedur ( tvåstegs GMM - Hansen, 1982):

Steg 1. Modellparametrar uppskattas med hjälp av GMM med enhetsviktmatris.

Steg 2. Baserat på provdata och parametervärdena som hittades i det första steget, uppskattas kovariansmatrisen för momentfunktioner och den resulterande uppskattningen används i den effektiva GMM. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

Denna tvåstegsprocedur kan fortsättas ( iterativ GMM ): genom att använda modellparameteruppskattningar i det andra steget uppskattas ögonblickets kovariansmatris igen och den effektiva GMM tillämpas igen, etc. iterativt tills den erforderliga noggrannheten uppnås.

Det är också möjligt att närma sig den numeriska minimeringen av objektivfunktionen med avseende på okända parametrar . Sålunda utvärderas både parametrarna och kovariansmatrisen samtidigt. Detta är den så kallade Continuously Updated GMM (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\hat {m}}^{T}(b){\hat {V}}_{g}^{{-1}}(b){\hat {m}}(b)$ $b$

Metodegenskaper

Uppskattningarna av den generaliserade metoden för moment under tillräckligt svaga förhållanden är konsekventa, asymptotiskt normala, och uppskattningarna av den effektiva GMM är också asymptotiskt effektiva. Det kan man visa

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

I allmänhet

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

där G är förväntan på matrisen för de första derivatorna av g med avseende på parametrarna. När det gäller en effektiv GMM är formeln för kovariansmatrisen avsevärt förenklad:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-test

När man använder GMM är ett viktigt test de överidentifierande begränsningarna (J-test) . Nollhypotesen är att villkoren (restriktionerna) för momenten håller (det vill säga modellens antaganden är korrekta). Alternativet är att de har fel.

Teststatistiken är lika med värdet på GMM-objektivet multiplicerat med antalet observationer. Med nollhypotesen

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({ \hat {b))))~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Således, om statistikvärdena är större än det kritiska värdet för fördelningen vid en given signifikansnivå, avvisas begränsningarna (modellen är otillräcklig), annars anses modellen som adekvat. $\chi ^{2}(qk)$

Se även

Litteratur

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometri. Inledande kurs. - M . : Delo, 2007. - 504 sid. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .