Ortogonalt koordinatsystem

Kurvilinjära koordinater kallas ortogonala , där den metriska tensorn har en diagonal form.

ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2}

var är utrymmets dimension. skalär faktor $n$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|

är lika med kvadratroten av de diagonala komponenterna i den metriska tensorn, eller längden på den lokala basvektorn . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k))$

I ortogonala koordinatsystem är koordinatytorna ortogonala mot varandra. I synnerhet i det kartesiska koordinatsystemet är koordinataxlarna och ortogonala mot varandra . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots,q^{n})$ $Oxe$ $Oj$ $Oz$

Valet av detta eller det system av ortogonala koordinater bestäms av systemets symmetri. Till exempel, när man löser problemet med utbredningen av en elektromagnetisk våg från en punktkälla, är det fördelaktigt att använda ett sfäriskt koordinatsystem ; när man löser problemet med membranoscillationer är ett cylindriskt koordinatsystem att föredra .

Matematiska transformationer

Basvektorer

I ortogonala system är prickprodukten av basvektorerna:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matris}}\right.$

I de flesta fall används normaliserade basvektorer, för vilka . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)){\left|\mathbf {e} _{i} \right|}}$

För normaliserade basvektorer , var är Kronecker-symbolen . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij))$ $\delta _{ij}$

Punkt produkt

Den skalära produkten av vektorer i ortogonala system beräknas med formeln:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\summa _ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\summa _{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\summa _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}