Monty Hall-paradoxen

Monty Hall - paradoxen  är ett av de välkända problemen inom sannolikhetsteorin , vars lösning vid första anblicken motsäger sunt förnuft. Denna uppgift är inte en paradox i ordets snäva bemärkelse, eftersom den inte innehåller en motsägelse, den kallas en paradox, eftersom dess lösning kan verka oväntad. Dessutom har många människor svårt att fatta det rätta beslutet även efter att de fått veta det [1] .

Problemet publicerades först [2] [3] (tillsammans med lösningen) 1975 i The American Statistician av professorn Steve Selvin vid University of California . Hon blev populär efter att ha synts i Parade magazine 1990 [4] .

Formulering

Problemet är formulerat som en beskrivning av ett spel baserat på det amerikanska tv-spelet "Let's Make a Deal", och är uppkallat efter programledaren för detta program. Den vanligaste formuleringen av detta problem, publicerad 1990 i Parade Magazine , är följande:

Föreställ dig att du har blivit deltagare i ett spel där du måste välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna står en bil , bakom de två andra dörrarna står getter . Du väljer en av dörrarna, till exempel nummer 1, efter det öppnar värden som vet var bilen är och var getterna finns en av de återstående dörrarna, till exempel nummer 3, bakom vilken det finns en get. Efter det frågar han dig – skulle du vilja ändra ditt val och välja dörr nummer 2? Kommer dina chanser att vinna en bil att öka om du accepterar värdens erbjudande och ändrar ditt val?

Efter publiceringen stod det genast klart att problemet var felaktigt formulerat: alla villkor var inte stipulerade. Till exempel kan facilitatorn följa den "helvetiska Monty"-strategin: erbjuda sig att ändra valet om och endast om spelaren har valt en bil vid första draget. Uppenbarligen kommer att ändra det ursprungliga valet att leda till en garanterad förlust i en sådan situation (se nedan).

Det mest populära är problemet med ett ytterligare villkor [5] — speldeltagaren känner till följande regler i förväg :

Följande text diskuterar Monty Hall-problemet i denna formulering.

Parsing

Dörr 1 Dörr 2 Dörr 3 Resultat om du ändrar valet Resultat om du inte ändrar valet
Bil Get Get Get Bil
Get Bil Get Bil Get
Get Get Bil Bil Get

För den vinnande strategin är följande viktigt: om du ändrar valet av dörren efter ledarens handlingar, så vinner du om du först valde den förlorande dörren. Detta kommer att hända med en sannolikhet på 2 ⁄ 3 , eftersom det initialt finns 2 sätt av 3 att välja den förlorande dörren.

Men ofta, när de löser det här problemet, argumenterar de ungefär så här: värden tar alltid bort en förlorad dörr till slut, och sedan blir sannolikheten för att en bil dyker upp bakom två oöppnade lika med ½ , oavsett det ursprungliga valet. Men detta är inte sant: även om det verkligen finns två valmöjligheter, är dessa möjligheter (med hänsyn till bakgrunden) inte lika sannolika. Detta är sant eftersom alla dörrar till en början hade lika stor chans att vinna, men sedan hade olika sannolikheter att bli eliminerade.


För de flesta människor motsäger denna slutsats den intuitiva uppfattningen av situationen, och på grund av den resulterande diskrepansen mellan den logiska slutsatsen och svaret som den intuitiva åsikten lutar åt, kallas problemet Monty Hall -paradoxen .

Tänk på att spelarens första val av en dörr påverkar vilka två återstående dörrar Monty väljer från.


Situationen med dörrarna blir ännu mer uppenbar om vi föreställer oss att det inte finns 3 dörrar, utan säg 1000, och efter valet av spelaren tar presentatören bort 998 extra och lämnar 2 dörrar: den som spelaren valde och en till. Det verkar mer uppenbart att sannolikheten för att hitta ett pris bakom dessa dörrar är olika och inte lika med ½ . Om vi ​​byter dörr, förlorar vi bara om vi valde prisdörren från början, vars sannolikhet är 1:1000. Vi vinner när vi byter dörr om vårt första val var fel , och sannolikheten för detta är 999 av 1000. I fallet med 3 dörrar bevaras logiken, men sannolikheten att vinna när vi ändrar beslutet är 2 ⁄ 3 , respektive och inte 999 ⁄ 1000 .

Ett annat sätt att resonera är att ersätta villkoret med ett likvärdigt. Föreställ dig att istället för att spelaren gör det första valet (låt det alltid vara dörr nummer 1) och sedan öppnar dörren med bocken bland de återstående (det vill säga alltid bland nummer 2 och 3), måste spelaren gissa dörren vid första försöket, men han får tidigare veta att det kan finnas en bil bakom dörr nr 1 med en initial sannolikhet (33%), och bland de återstående dörrarna anges för vilken av bildörrarna det definitivt inte finns någon bil (0%). Följaktligen kommer den sista dörren alltid att stå för 67%, och strategin för att välja den är att föredra.

Ett ännu mer visuellt resonemang är att genom att i förväg veta de fullständiga villkoren för spelet (att valet kommer att erbjudas att ändras) och samtycka till dessa villkor i förväg, väljer spelaren faktiskt för första gången en dörr bakom vilken, i sin åsikt, det finns inget pris (och kan göra ett misstag med en sannolikhet på 1 ⁄ 3 ). Samtidigt pekar han indirekt på de återstående två dörrarna, varav den ena enligt hans åsikt har ett pris, vilket ger en chans att vinna 2 ⁄ 3 . Detta motsvarar ett spel där facilitatorn i början en gång skulle erbjuda spelaren att utesluta en "extra" dörr och garanterat öppna de återstående två.

Fjärde alternativet: om spelaren har valt en bil (sannolikheten för detta är ⅓ ), kommer Monty definitivt att erbjuda ett skifte, och det leder till en get. Och om spelaren valde en get (sannolikhet ⅔ ) - då till bilen. Därför är de bakre sannolikheterna ⅓ om de inte ändras och ⅔ om de ändras. Och den lika troliga öppningen av vänster och höger dörr, om spelaren ändå pekade på bilen, tillåter inte att extrahera information från det faktum att vänster eller höger dörr är öppen.

Annat värdbeteende

Den klassiska versionen av Monty Hall-paradoxen säger att värden kommer att uppmana spelaren att byta dörr, oavsett om han valde bilen eller inte. Men mer komplext beteende hos värden är också möjligt. Den här tabellen beskriver kortfattat flera beteenden. Om inget annat anges är priserna lika sannolikt placerade utanför dörrarna, programledaren vet var bilen finns och om det finns ett val väljer han med lika stor sannolikhet bland två getter. Om värden påverkar sannolikheterna snarare än att följa en stel procedur, så är målet att hålla bilen borta från föremålet. Målet med ämnet är att ta upp det.

Värdens beteende Resultat
"Infernal Monty": Värden erbjuder sig att byta om dörren är korrekt [4] . Med en sannolikhet på ⅔ kommer det inte att finnas något erbjudande, och ämnet kommer att förbli hos geten. Med en sannolikhet på ⅓  - kommer det att finnas ett erbjudande, och förändringen kommer alltid att ge en get.
"Angelic Monty": värden erbjuder sig att byta om dörren är fel [6] . Med en sannolikhet på ⅓ kommer det inte att finnas något erbjudande, och föremålet kommer att ta bilen. Med en sannolikhet på ⅔  - kommer det att finnas ett erbjudande, och skiftet kommer alltid att ge en bil.
"Okunniga Monty" eller "Monty Buch": värden faller oavsiktligt, dörren öppnas och det visar sig att det inte finns en bil bakom den. Med andra ord, värden själv vet inte vad som finns bakom dörrarna, öppnar dörren helt på måfå, och bara av en slump fanns det ingen bil bakom den [7] [8] [9] . Med en sannolikhet på ⅓ , kommer den fallna Monty att öppna bilen, en förlust. Med en sannolikhet på ⅔ kommer ett erbjudande att följa, och ändringen kommer att ge vinst i ½ av fallen.
Så här arrangeras den amerikanska showen "Deal or No Deal" - spelaren själv öppnar dock en slumpmässig dörr, och om det inte finns någon bil bakom den erbjuder presentatören att ändra den.
Värden väljer en av getterna och öppnar den om spelaren har valt en annan dörr. Med en sannolikhet på ⅓ kommer det inte att finnas något erbjudande, en förlust. Med en sannolikhet på ⅔ kommer ett erbjudande att följa, och ändringen kommer att ge vinst i ½ av fallen.
Värden öppnar alltid geten. Om en bil väljs öppnar den vänstra bocken med sannolikheten p och den högra bocken med sannolikheten q =1− p . [8] [9] [10] Om ledaren öppnade den vänstra dörren ger skiftet en vinst med sannolikhet . Om rätt - . Emellertid kan försökspersonen inte påverka sannolikheten att rätt dörr öppnas - oavsett hans val kommer detta att ske med sannolikhet .
Samma sak, p = q = ½ (klassiskt kasus). Förändringen ger en vinst med en sannolikhet på ⅔ .
Detsamma, p = 1, q = 0 ("kraftlös Monty" - en trött presentatör står vid vänster dörr och öppnar geten som är närmare). Om ledaren öppnade rätt dörr (sannolikheten för detta är ⅓ ), ger bytet en garanterad vinst. Om det lämnas, vilket händer i ⅔ av fallen, är sannolikheten ½ .
Värden vet inte vad som finns bakom dörrarna. Han väljer en av de två återstående dörrarna, rådgör i hemlighet med en partner och erbjuder sig att byta om det finns en get. Det vill säga, han öppnar geten alltid om en bil väljs, och med sannolikhet ½ annars. [elva] I likhet med Monty Buch-alternativet: med en sannolikhet på ⅓ kommer den hemliga partnern att säga att det finns en bil, det kommer inte att finnas något erbjudande, förlust. Med en sannolikhet på ⅔ kommer det att finnas ett erbjudande, och ändringen kommer att ge en vinst i ½ av fallen.
Allmänt fall: spelet upprepas många gånger, sannolikheten att gömma bilen bakom en eller annan dörr, samt att öppna den eller den dörren är godtycklig, men värden vet var bilen är och erbjuder alltid en förändring genom att öppna en av getterna. [12] [13] Nash-jämvikt : det är Monty Halls paradox i sin klassiska form som är mest fördelaktigt för värden - bilen gömmer sig bakom någon av dörrarna med en sannolikhet på ⅓ ; om det finns ett val, öppna valfri get på måfå. Sannolikheten att vinna är ⅔ .
Detsamma, men värden kanske inte öppnar dörren alls. Nash-jämvikt : det är fördelaktigt för värden att inte öppna dörren, sannolikheten att vinna är ⅓ .

Alternativ: The Three Prisoners Challenge

Problemet föreslogs av Martin Gardner 1959.

Tre fångar, A, B och C, placeras i isoleringscell och döms till döden. Guvernören väljer slumpmässigt en av dem och benådar honom. Vakten som vaktar fångarna vet vem som blir benådad, men har ingen rätt att säga det. Fånge A ber vakten att berätta för honom namnet på den (andra) fången som definitivt kommer att avrättas: " Om B blir benådad, säg mig att C kommer att avrättas. Om C blir benådad, säg att B kommer att avrättas. benådad Jag slår ett mynt och säger namnet på B eller C. "

Vakten säger till fånge A att fånge B kommer att avrättas. Fånge A är glad att höra detta, eftersom han tror att sannolikheten för hans överlevnad nu är ½ , och inte ⅓ , som det var tidigare. Fånge A berättar i hemlighet för fånge C att B kommer att avrättas. Fånge C är också glad över att höra detta, eftersom han fortfarande tror att Fånge A:s överlevnadssannolikhet är ⅓ och hans överlevnadssannolikhet har ökat till 2 ⁄ 3 . Hur kan det vara såhär?

Parsing

De som är bekanta med Monty Halls paradox vet nu att C har rätt och A har fel.

Så frasen "Execute B" lämnar de första och 4:e alternativen - det vill säga 2 ⁄ 3 chanser att C kommer att benådas, och ⅓ att A.

Folk tror att sannolikheten är ½ eftersom de ignorerar kärnan i frågan som fånge A ställer till vakten. Om vakten kunde svara på frågan "Kommer fånge B att avrättas?", om svaret var ja, skulle sannolikheten för A:s avrättning verkligen minska från 2 ⁄ 3 till ½ .

Frågan kan närma sig på ett annat sätt: om A blir benådad kommer vakten att säga vilket namn som helst på måfå; om A avrättas, kommer vakten att säga den som kommer att avrättas tillsammans med A. Så frågan kommer inte att ge A någon ytterligare chans till benådning.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Vorontsov, I.D., Raitsin, A.M. MONTY HALL PARADOX  // TELEKOMMUNIKATION OCH INFORMATIONSTEKNIK. - 2015. - Nr 2 . - S. 7 . Arkiverad från originalet den 15 juni 2021.
  2. ↑ Selvin, Steve. Ett sannolikhetsproblem (brev till redaktören  )  // Amerikansk statistiker : journal. — Vol. 29 , nr. 1 . — S. 67 . — .
  3. ↑ Selvin, Steve. Om Monty Hall-problemet (brev till redaktören  )  // Amerikansk statistiker : journal. — Vol. 29 , nr. 3 . — S. 134 . — .
  4. ↑ 1 2 Tierney, John (21 juli 1991), Bakom Monty Hall's Doors: Pussel, debatt och svar? , The New York Times , < https://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 > . Hämtad 18 januari 2008. Arkiverad 9 november 2007 på Wayback Machine 
  5. ↑ Monty Hall-problemet, omprövat Arkiverat 8 mars 2019 på Wayback Machine . Martin Gardner under det tjugoförsta århundradet
  6. ↑ Granberg, Donald (1996). "Att byta eller inte byta". Bilaga till vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking . St. Martins press. ISBN 0-312-30463-3 , ( begränsad onlinekopia  i " Google Böcker ").
  7. ↑ Granberg, Donald och Brown, Thad A. (1995). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21 (7): 711-729.
  8. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl   // Math Horizons :tidskrift. — 2005a. - P. Septembernummer, 5-7 . Online nytryck, 2008 Arkiverad 16 november 2010 på Wayback Machine .
  9. ↑ 1 2 Rosenthal, Jeffrey S. (2005b): Slagd av blixten: den nyfikna världen av sannolikheter . Harper Collings 2005, ISBN 978-0-00-200791-7 .
  10. ↑ Morgan, JP, Chaganty, NR, Dahiya, RC, & Doviak, MJ (1991). "Låt oss göra en deal: Spelarens dilemma," Arkiverad 21 augusti 2016 på Wayback Machine American Statistician 45 : 284-287 .
  11. ↑ Mueser, Peter R. och Granberg, Donald (maj 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making" Arkiverad 25 maj 2013 på Wayback Machine , University of Missouri Working Paper 99-06. Hämtad 10 juni 2010.
  12. ↑ Gill, Richard (2010) Monty Hall-problem. pp. 858-863, International Encyclopaedia of Statistical Science , Springer, 2010. Eprint [1]
  13. ↑ Gill, Richard (2011) Monty Hall-problemet är inte ett sannolikhetspussel (det är en utmaning i matematisk modellering). Statistica Neerlandica 65 (1) 58-71, februari 2011. Eprint [2]

Länkar

Litteratur