Sömnskönhetsparadoxen är en paradox inom sannolikhetsteorin . En paradox är ett sannolikhetsproblem som har två olika lösningar som motsäger varandra.
Filosofen Adam Elga publicerade en artikel som beskrev denna paradox, där han i en fotnot konstaterade att paradoxen var hämtad från ett opublicerat verk av Arnold Zuboff . [ett]
Ämnet ("Sleeping Beauty") får en injektion med sömntabletter. Ett symmetriskt mynt kastas . I händelse av att en örn faller ut väcks hon och experimentet slutar där. Om det kommer upp svansar väcker de henne, ger henne en andra injektion (varefter hon glömmer väckarklockan) och väcker henne nästa dag utan att kasta mynt (i det här fallet pågår experimentet i två dagar på rad). Hela denna procedur är känd för Beauty, men hon har ingen information om vilken dag hon väcktes.
Föreställ dig själv i Törnrosas plats. Du har blivit väckt. Vad är sannolikheten att myntet landade huvuden?
Lösning 1 Du har ingen information om resultatet av myntfallet och tidigare väckningar. Eftersom myntet är känt för att vara rättvist, kan vi anta att sannolikheten att komma upp är 1/2. Lösning 2 Låt oss göra experimentet 1000 gånger. Törnrosa väcks i genomsnitt 500 gånger med huvud och 1000 gånger med svans (eftersom i fallet med svansar väcks Törnrosa 2 gånger). Därför är sannolikheten att få huvuden 1/3.Adam Elga uppger att det rätta svaret är 1/3.
Samtidigt, innan testets start (innan myntkastningen), uppskattar Törnrosa denna sannolikhet till 1/2, men vet samtidigt att hon efter att ha vaknat uppskattar sannolikheten till 1/3. Däri ligger paradoxen.
Adam Elga erbjuder i sin artikel följande lösning på problemet.
Anta att det första uppvaknandet inträffar på måndag och det andra (om något) inträffar på tisdag. Sedan, när du vaknar, är du säker på att du är i en av tre "positioner":
H1 - EAGLE och det är måndag; T1 är TAILS och det är måndag; T2 är TAILS och det är tisdag.När du först vaknar är du säker på följande: du är i position H1 om och endast om resultatet av myntkastningen är huvuden. Därför är det tillräckligt att beräkna sannolikheten P(H1) för att lösa paradoxen.
Om du (efter det första uppvaknandet) visste att resultatet av rullen var "svansar", skulle det vara liktydigt med att veta att du antingen är i nivå 1 eller nivå 2. Eftersom att vara i T1 subjektivt ser exakt likadan ut som att vara i T2, så är P(T1) = P(T2).
Utmaningen för forskare är att använda ett rättvist mynt för att avgöra om du ska väcka dig en eller två gånger. De kan slutföra sin uppgift på två sätt: 1) antingen kasta ett mynt först och sedan väcka dig en eller två gånger beroende på resultatet; 2) eller väcka dig en gång först och sedan vända ett mynt för att avgöra om du ska väcka dig en andra gång.
Ditt självförtroende (efter uppvaknandet) för huvudena bör vara detsamma oavsett om forskarna använder metod 1 eller 2. Så anta att de använder - och du vet att de använder - metod 2. Om du (efter uppvaknandet) får reda på att det är måndag idag, det kommer att motsvara att veta att du antingen är i H1 eller T1. Av detta följer att P(H1) = P(T1).
Genom att kombinera resultaten får vi P(H1) = P(T1) = P(T2). Eftersom summan av dessa sannolikheter är 1, så är P(H1) = 1/3.
Arnold Zuboff ger i ett senare publicerat arbete en något annorlunda formulering av paradoxen. [2]
Föreställ dig ett "uppvakningsspel" där hypnotisören först sövar en spelare. Sedan kommer han att ligga i denna hypnotiska sömn i en biljon dagar (förutom vissa perioder). Efter att han somnat kommer ett rättvist mynt att kastas för att avgöra vilken av två procedurer som kommer att följas: 1) antingen kommer han att väckas under en kort period på var och en av en biljon dagar, 2) eller så kommer han att väckas under en kort period bara en gång - på bara en dag, slumpmässigt utvald från en biljon.
Till detta kommer att hypnotisören i slutet av en uppvaknandeperiod raderar permanent minnet av uppvaknande från spelarens sinne innan spelaren lägger sig i viloläge igen. Alltså, oavsett antalet uppvaknanden, ett eller en biljon, kommer var och en att verka vara det första uppvaknandet.
Anta att spelaren vet allt detta, men inte får veta vilken av de två procedurerna som utförs i hans spel. Kan han på något sätt avgöra om han vaknar en gång eller en biljon?
Föreställ dig att du är en spelare och nu är du vaken. Det verkar som om du kan resonera så här: "Det skulle vara en biljon gånger mindre sannolikt att jag skulle vara vaken den här dagen om bara en dag valdes att vakna istället för bara en biljon dagar. Att jag nu är vaken skulle därför vara extremt osannolikt om det bara fanns ett uppvaknande i spelet. Därför, med tanke på bevisen för att jag är vaken idag, måste jag dra slutsatsen att hypotesen att det finns en biljon uppvaknanden är mycket mer sannolikt än hypotesen att det bara finns en."
Törnrosafrågan ses ur spelarens synvinkel precis innan spelet startar. Det verkar säkert att du innan spelet startar (innan myntkastningen) inte kan säga något om huruvida du kommer att väckas i det kommande spelet en eller en biljon gånger. Men du kan veta att nästa gång du resonerar kommer du korrekt att dra slutsatsen att en biljon uppvaknanden äger rum.
Enligt Zuboff är anledningen till denna paradox erfarenhetens objektiva individualisering: upplevelsen av uppvaknande på olika dagar är en annan upplevelse, eftersom den inträffar vid olika objektiva tidpunkter. Om vi utgår från erfarenhetens subjektiva individualisering, d.v.s. upplevelsen av att vakna en viss dag är samma upplevelse, då är sannolikhetsförklaringar efter uppvaknandet omöjliga och paradoxen försvinner.