Periodiskt tillstånd

Ett periodiskt tillstånd är ett tillstånd av en Markov-kedja som besöks av kedjan endast vid tidsintervall som är multiplar av ett fast antal.

Tillståndsperiod

Låt en tidsdiskret homogen Markov-kedja med övergångssannolikhetsmatris ges . Speciellt för alla är matrisen matrisen av övergångssannolikheter per steg. Låt oss överväga en sekvens . siffra $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P$ $n\in \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

där betecknar den största gemensamma divisorn kallas tillståndsperioden . $\gcd$ $j$

Notera

Således är statens period , om från det faktum att , det följer att är delbart med . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Periodiska tillstånd och kedjor

Om , då kallas tillståndet periodiskt . Om , då tillståndet kallas aperiodisk . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Perioderna för kommunicerande stater sammanfaller:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Således är perioden för varje oupplöslig klass i Markov-kedjan definierad och lika med perioden för någon av dess representanter. Följaktligen är klasserna indelade i periodiska och aperiodiska.

Om en Markov-kedja är oupplöslig, så sammanfaller perioderna för alla dess tillstånd och det gemensamma värdet de tar kallas kedjans period. En kedja kallas periodisk om dess period är större än en, och aperiodisk annars.

Klassificering av stater och Markov-kedjor
stat	aperiodisk retur- uppnås oåterkallelig obetydlig noll- periodisk positiv kommunicerar signifikant
Kedja	aperiodisk retur- oåterkallelig oupplöslig noll- periodisk positiv nedbrytbara ergodiskt