Ergodisk distribution

Definition

Låt vara en homogen Markov-kedja med diskret tid och ett räknebart antal tillstånd. Beteckna $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$

p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)

övergångssannolikheter per steg. Om det finns en diskret fördelning sådan att och $n$ $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$ $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$

\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots

då kallas det ergodisk distribution , och själva kedjan kallas ergodisk .

Grundläggande teorem om ergodiska fördelningar

Låt vara en Markov-kedja med ett diskret tillståndsutrymme och en matris av övergångssannolikheter . Då är den här kedjan ergod om och bara om den $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$

Den ergodiska fördelningen är då den enda lösningen på systemet: $\mathbf {\pi }$

\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\summa \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}

Se även

Stationär distribution .

Klassificering av stater och Markov-kedjor
stat	aperiodisk retur- uppnås oåterkallelig obetydlig noll- periodisk positiv kommunicerar signifikant
Kedja	aperiodisk retur- oåterkallelig oupplöslig noll- periodisk positiv nedbrytbara ergodiskt