Tät uppsättning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En tät mängd är en delmängd av rymden vars punkter kan approximera vilken punkt som helst i det omslutande rummet godtyckligt. Formellt sett är tät i om någon grannskap av någon punkt från innehåller ett element från . $A$ $X$ $x$ $X$ $A$

Definitioner

Låt ett topologiskt utrymme och två delmängder ges. Då kallas mängden tät i mängden om något grannskap av någon punkt innehåller minst en punkt från , d.v.s. $(X,{\mathcal {T}})$ $A,B\subset X.$ $A$ $B$ $B$ $A$

\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T))\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A \neq \varnothing {\bigr )}.

En uppsättning sägs vara tät överallt om den är tät in $A$ $x.$

Notera

Ovanstående definition av setdensitet motsvarar något av följande:

Uppsättningen är tät i om och endast om förslutningen innehåller , det vill säga . I synnerhet är det överallt tätt om . $A$ $B$ $A$ $B$ ${\bar {A}}\uppsättning B$ $A$ ${\bar {A}}=B$
Uppsättningen är tät i om och endast om det inre av komplementet till inte skär med , det vill säga . I synnerhet är det överallt tätt om . $A$ $B$ $A$ $B$ $\left(A^{\komplement }\right)^{0}\cap B=\emptyset$ $A$ $\left(A^{\komplement }\right)^{0}=\emptyset$

Exempel

Uppsättningen av rationella tal är tät i rymden av reella tal . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Se även

Litteratur

R.A. Aleksandryan, E.A. Mirzakhanyan . Allmän topologi - M: Higher school, 1979.
Kelly J.L. Allmän topologi - M . : Nauka, 1968
Engelking R. Allmän topologi - M .: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementär topologi Arkiverad 19 februari 2012 på Wayback Machine . Handledning i uppgifter (rus., eng.)