Packningsdensitet

Packningsdensiteten i vissa utrymmen är den del av utrymmet som är fyllt med packade kroppar (figurer). Vid packningsproblem är målet vanligtvis att få en packning med högsta möjliga densitet.

I kompakta utrymmen

Om K 1 ,..., K n är mätbara delmängder av X kompakt i måttutrymme och deras uppsättningar av inre punkter är parvis disjunkta, då är samlingen { K i } en packning i X och densiteten för denna packning är lika med

.

I det euklidiska rummet

Om utrymmet som ska packas är oändligt, såsom euklidiskt utrymme , definieras densiteten traditionellt som gränsen för densiteten som erhålls genom att packa i större och större bollar. Om B t är en kula med radie t centrerad vid origo, då är packningsdensiteten { K i  : i ∈ℕ} lika med

.

Eftersom en sådan gräns inte alltid finns, är det användbart att definiera övre och nedre densiteter som övre och nedre gränser. Om densiteten existerar är den övre och nedre densiteten desamma. Om det säkerställs att en kula i det euklidiska rymden endast skär ett ändligt antal packningselement och om elementdiametrarna är avgränsade ovanifrån, beror de övre och nedre tätheterna inte på valet av ursprung och μ ( K i ∩ B t ) kan ersättas med μ ( K i ) för alla element som skär B t [1] . Kulorna kan ersättas av homoter av någon annan konvex kropp, men i allmänhet kan de resulterande tätheterna skilja sig.

Optimal packningsdensitet

Ofta betraktas förpackningar med en begränsning av användningen av delar av en viss uppsättning element. Till exempel kan en uppsättning element bestå av kulor med en viss radie. Den optimala packningsdensiteten eller packningskonstanten associerad med en samling är en exakt övre gräns för de övre densiteterna som erhålls av en packning som innehåller en undersamling av den uppsättning element från vilken packningen skapas. Om en given samling av element som ska packas består av konvexa kroppar med begränsad diameter, finns det en packning vars densitet är lika med packningskonstanten, och denna packningskonstant förändras inte om kulorna i densitetsdefinitionen ersätts med homoteter av vissa annan konvex kropp [1] .

Alla euklidiska rörelser en fast konvex kropp K är av intresse . I detta fall kallas packningskonstanten packningskonstanten för kroppen K. Keplers gissning gäller packningskonstanten för tredimensionella kulor. Ulams packningsförmodan säger att 3D-sfärer har den minsta packningskonstanten jämfört med andra konvexa kroppar. Alla parallella translationer av en fast kropp är också av intresse, och för dem introduceras packningskonstanten för den parallella translationen av kroppen.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Groemer, 1986 , sid. 183.

Litteratur

Länkar