Underkategori
Inom matematiken är en underkategori till en kategori C en kategori S vars föremål också är föremål för C och vars morfismer också är morfismer i C , med samma identitetsmorfismer och sammansättningsregler. Intuitivt erhålls underkategorin S från C genom att ta bort några objekt och morfismer.
Formell definition
Låt C vara en kategori. Underkategori S i kategori C definieras av
- en underklass av C -objekt , betecknad med ob( S ),
- subklass av morfismer C , betecknad med hom( S ).
så att följande villkor är uppfyllda:
- för varje X i ob( S ) tillhör identitetsmorfismen id X hom( S ),
- för varje morfism f : X → Y till hom( S ), dess förbild X och bild Y ligger i ob( S ),
- för varje par av morfismer f , g i hom( S ) ligger sammansättningen f o g i hom( S ) om den är definierad i C .
Av dessa villkor följer att S är en kategori i sig. Det finns en uppenbar strikt funktion I : S → C som kallas inbäddningsfunktion .
En underkategori S kallas en komplett underkategori C om för varje par av objekt X , Y i S
Typer av underkategorier
En underkategori S i en kategori C kallas isomorfism sluten om någon isomorfism k : X → Y i C så att Y tillhör S tillhör också S . En fullständig underkategori stängd under en isomorfism kallas en strikt fullständig underkategori .
En underkategori C är bred om den innehåller alla C -objekt . I synnerhet är den enda breda kompletta underkategorin i kategori C C själv .
Se även
Litteratur
- S. McLane Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .