Reflekterande underkategori

Inom matematiken sägs en underkategori A i en kategori B vara reflekterande om den inbäddningsfunktion av A i B har en vänsteradjoint . Denna adjoint funktor kallas ofta en reflektor . Den dubbla definitionen är A co-reflektiv om den inbäddningsfunktioner har en högeradjoint.

Explicit definition

En underkategori A i en kategori B sägs vara reflekterande i B om det för varje objekt B i kategori B finns ett objekt av kategori A och en B - morfism så att det för varje B -morfism finns en unik A -morfism sådan att : $A_{B}$ $r_{B}\colon B\to A_{B}$ $f\colon B\to A$ ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$

Paret kallas A-reflektor B . Morfismen kallas den A-reflekterande pilen. $(A_{B},r_{B})$ $r_{B}$

Exempel

Algebra

Kategorin av Abeliska grupper Ab är en reflekterande underkategori till kategorin av grupper Grp . Reflektorn är en funktion som skickar varje grupp till sin abelianisering . I sin tur är kategorin grupper en reflekterande underkategori av kategorin semigrupper med division.
Fältkategorin är en reflekterande underkategori till kategorin integralringar (med injektiv ringhomomorfismer). Reflektorn är en funktion som skickar en ring in i sitt kvotfält .
Kategorin Abeliska torsionsgrupper är en samreflekterande underkategori av kategorin Abelska grupper . Reflektorn skickar en Abelisk grupp till dess torsionsundergrupp .
Kategorin av vektorrum över ett givet fält k är en reflekterande underkategori till kategorin av mängder. Reflektorn är en funktion som skickar mängden B till det fria vektorutrymmet som genereras av elementen i B över k .

Topologi

Kolmogorov-utrymmen (T 0 -rum) är en reflekterande underkategori av Top , kategorin topologiska utrymmen , och Kolmogorov-faktorn är en reflektor.
Kategorin kompakta Hausdorff- rum är en reflekterande underkategori av topologiska rum med Tikhonovs axiom. Reflektor - Stone-Cech kompaktering .
Kategorin av kompletta metriska utrymmen med enhetligt kontinuerliga mappningar är en reflekterande komplett underkategori av kategorin metriska utrymmen. Reflektorn är fullbordandet av det metriska utrymmet .

Funktionsanalys

Kategorin för Banach - utrymmen är en reflekterande fullständig underkategori av kategorin normerade utrymmen och avgränsade linjära operatorer . Reflektor - påfyllning enligt normen.

Anteckningar

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier (neopr.) . — New York: John Wiley & Sons , 1990.
Peter Freyd, Andre Scedrov. Kategorier, Allegorier (obestämd) . - North-Holland , 1990. - (Mathematical Library Vol 39). - ISBN 978-0-444-70368-2 .
Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (neopr.) . — Berlin: Springer , 1968.
Mark V. Lawson. Inversa semigrupper: teorin om partiella symmetrier . - World Scientific , 1998. - ISBN 978-981-02-3316-7 .