Undermodul

En undermodul är en delmängd av en modul som är en undergrupp till dess additivgrupp och som är sluten under multiplikation med element i huvudringen . I synnerhet är det vänstra (höger) idealet för en ring en undermodul till den vänstra (höger) -modulen . $R$ $R$ $R$

Relaterade definitioner

En undermodul som skiljer sig från hela modulen kallas en inbyggd modul .
En undermodul kallas stor (eller väsentlig ) om den har en korsning som inte är noll med någon annan submodul som inte är noll.
- Till exempel bildar heltalen en stor undermodul av gruppen av rationella tal.
Varje modul är en stor undermodul av dess injektiviska skal .
En undermodul till en modul kallas liten (eller koessentiell ) om jämlikheten innebär för någon undermodul . $A$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- Till exempel visar sig varje riktig undermodul i kedjemodulen vara liten .

Egenskaper

Uppsättningen av undermoduler för en given modul, ordnad efter inkludering, är ett komplett Dedekind -gitter .
Summan av alla små undermoduler är densamma som skärningspunkten mellan alla maximala undermoduler.
Ett vänsterideal tillhör Jacobson-radikalen om och bara om är liten för en ändligt genererad vänstermodul . $jag$ $IM$ $M$ $M$
Elementen i en liten undermodul är icke-generatorer, det vill säga alla system av generatorer i modulen förblir sådana efter borttagandet av något av dessa element (detta betyder naturligtvis inte att de kan tas bort på en gång!) .
Jacobson-radikalen i endomorfismringen i en modul sammanfaller med uppsättningen av endomorfismer som har en liten bild .
Om är en homomorfism av en modul till en modul , så visar sig uppsättningen vara en undermodul till modulen och kallas homomorfismens kärna . $\phi$ $A$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\subset A$
$A$ $\phi$
- Varje undermodul fungerar som kärnan i någon homomorfism.

Litteratur

Kash F. Moduler och ringar, - pr. från German, M. , 1981;
Face K. Algebra: ringar, moduler och kategorier, - per. från engelska, vol 1-2, Moscow , 1977-79.