Hölder exponent

Hölder-exponenten (även känd som Lipschitz- exponenten ) är en egenskap för en funktions jämnhet . Den lokala (punkt) Hölder- exponenten karakteriserar den lokala jämnheten (lokal oregelbundenhet) för en funktion vid en punkt. I allmänhet är Hölder-exponenten verklig. $\alfa$

Definition

En funktion har en lokal (eller punkt ) Hölder-exponent vid en punkt då det finns en konstant och ett ordningspolynom så att $f$ $\alpha \geqslant 0$ $v$ $K\geqslant 0$ ${\displaystyle p_{v))$ $m=\alpha$ $\forall t\in \mathbb {R}$

|f(t)-p_{v}(t)|\leqslant K|tv|^{\alpha }.

Om en funktion är Hölder-regelbunden med en exponent (har en homogen Hölder-exponent ) i en grannskap av punkten , så betyder det att funktionen nödvändigtvis är gånger differentierbar i denna grannskap. $f$ $\alfa$ $\alfa$ $\alpha >m$ $v$ $m$

En funktion som går sönder vid en punkt har Hölder-exponent vid den punkten. $v$ $\alfa=0$

Den lokala (punkt) Hölder-exponenten kan variera godtyckligt i tiden. Denna förändring kan produceras av en funktion med så kallade icke- isolerade oregelbundenheter , där funktionen har olika Hölder-regelbundenhet vid varje punkt. Däremot ger en tidskonstant (homogen) Hölder-exponent ett mer globalt mått på regelbundenhet som gäller för hela intervallet.

På ett informellt sätt bestämmer Hölder-exponenten bråkdifferentieringen av en funktion (vid en punkt).

Egenskaper

Hölder-exponenten för en funktion i en mängd bestäms av den begränsande rolloffen av dess Fourier-transform . Signalen är begränsad och har en enhetlig Hölder-exponent på uppsättningen om . $f$ $\mathbb {R}$ $\alfa$ $\mathbb {R}$ $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f))(\omega )|(1+|\omega |^{\alpha })\,d\omega <+\infty$

Den lokala Hölder-exponenten kan beräknas baserat på sönderfallet av funktionens wavelet-transformkoefficienter , som ligger på linjen för lokala maxima för wavelet-transformmodulen [1] .

Se även

Anteckningar

↑ Mallat S., Hwang WL Singularitetsdetektering och bearbetning med wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. - 1992. - Vol. 38.-Nr. 2. - P. 617-639.

Länkar

Hölder-Lipschitz tillstånd och dess geometriska betydelse