Genererar uppsättning av en grupp

Genereringsmängden för en grupp (eller uppsättningen generatorer [1] , eller systemet av generatorer ) är en delmängd så att varje element kan skrivas som produkten av ett ändligt antal element och deras inverser. $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

Definition

Låt vara en delmängd av gruppen . Vi definierar — en undergrupp genererad av — som den minsta undergruppen som innehåller alla element av , det vill säga skärningspunkten mellan alla undergrupper som innehåller . På motsvarande sätt är en undergrupp av alla element som kan representeras som ändliga produkter av element och deras inverser . $S$ $G$ $\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $S$ $\langle S\rangle$ $G$ $S$

Om , då säger vi att det genererar en grupp . Elementen kallas generatorer av gruppen. Om en grupp har en ändlig uppsättning generatorer, kallas den en ändligt genererad grupp . $G=\langle S\rangle$ $S$ $G$ $S$ $G$

Anteckningar

Observera att om den är tom, är den per definition en trivial grupp som består av ett neutralt element. $S$ $\langle S\rangle$

När det bara innehåller ett element skrivs det vanligtvis istället för . I det här fallet är en cyklisk undergrupp av grader i . $S$ $x$ $\langle x\rangle$ $\langle \{x\}\rangle$ $\langle x\rangle$ $x$ $G$

Generera semigrupper och monoider

För fallet när är en halvgrupp eller en monoid, kan man också introducera ett liknande koncept för en genereringsmängd: genererar som en halvgrupp eller monoid om det är en minimal halvgrupp respektive en minimal monoid som innehåller . $G$ $S$ $G$ $G$ $S$

En sådan definition kan också uttryckas i språket för elementrepresentabilitet som en kombination. För en halvgrupp kan vi säga att det är en genereringsmängd om varje element kan representeras som en ändlig produkt av element från . För en monoid kan vi säga att det är en genereringsmängd om varje element , förutom den neutrala, kan representeras som en ändlig produkt av element från . $S$ $G$ $S$ $S$ $G$ $S$

På grund av skillnaden i definitioner kan samma uppsättning generera i en mening, men inte i en annan. Till exempel, för en monoid av icke-negativa heltal, kommer genereringsmängden att vara , men för en halvgrupp är den inte längre en genererande mängd, eftersom 0 inte kan representeras som en summa av enheter. På liknande sätt är för en grupp en genereringsmängd, men inte för en monoid, eftersom definitionen av en genereringsmängd för en monoid inte inkluderar att ta inverser. $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S=\{1\}$ $(\mathbb {N} _{\geq 0},+)$ $S$ $\mathbb {Z}$ $\{ett\}$

Genererar uppsättning av en grupp

Definition

Anteckningar

Generera semigrupper och monoider

Se även

Anteckningar

Litteratur