Produktregel

Produktregeln , eller Leibniz- identiteten , är en karakteristisk egenskap hos differentialoperatörer .

\delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g).

Ofta ingår Leibniz-identiteten som ett axiom i definitionen av differentiering.

Exempel

För derivat $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
För differential $d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)$

Variationer och generaliseringar

Flera derivator

För den -e derivatan finns en generaliserad Leibniz-formel : $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\summa \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

var finns binomialkoefficienter .

C_{n}^{k}

Graderad algebra

En operation på en graderad algebra uppfyller den graderade Leibniz-identiteten om, för någon , ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l))$ ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k))$ ${\displaystyle K\in \Omega ^{k))$ $F\in \Omega$

\delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)

var är multiplikationen i . De flesta härledningar på differentialformernas algebra tillfredsställer denna identitet. $\kil$ $\Omega$

Associativ algebra

Följande identitet är sann i associativ algebra : Denna identitet är Leibniz-regeln för en operator. Av denna anledning kallas en operator för en inneboende härledning i algebra. Operatören har en liknande egenskap $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$

Följaktligen, $[A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{ 2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].$

Se även

Multiplikationsregel (kombinatorik)