Primitivt polynom (algebra)

I algebra är ett primitivt polynom vilket polynom som helst , där är en associativ-kommutativ ring , med en enkelvärdig faktorisering, vars koefficienter inte har icke-triviala gemensamma delare. $f(x)\in R[x]$ $R$

Vilket polynom som helst kan skrivas som , där är ett primitivt polynom och a är den största gemensamma divisorn för polynomets koefficienter . Elementet , definieras fram till multiplikation med inverterbara element från R, det kallas innehållet i polynomet . $g(x)\in R[x]$ $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$ $f(x)$ $c_{g}$ $g(x)$ $c_{g}\i R$ $g(x)$

Gauss Lemma

Om , då . I synnerhet är produkten av primitiva polynom åter primitiv. $g_{1}(x),g_{2}(x)\in R[x]$ $c_{{g_{1}g_{2}}}=c_{{g_{1}}}c_{{g_{2}}}$

Bevis

Vi bevisar först att produkten av primitiva polynom är ett primitivt polynom. För att göra detta räcker det att kontrollera att om ett enkelt element i ringen delar alla koefficienter för polynomet , så är det en gemensam divisor av alla koefficienter i polynomet eller en gemensam divisor för alla koefficienter i polynomet . Låt , , vara graderna av dessa polynom. Låt oss göra en induktion på . Om , då och , . Om delar , då eftersom ringen är faktoriell, delar eller delar , det vill säga i det här fallet är påståendet sant. I det allmänna fallet . Antag att något enkelt element i ringen delar polynomets alla koefficienter . Eftersom ringen också är faktoriell, då eller . Låt för bestämdhet . If , dividerar sedan alla koefficienter för polynomet . Om , notera då att det också kommer att vara en gemensam divisor för alla koefficienter för polynomet , där . Faktum är att alla koefficienter för polynomet är delbara med , och därmed med . Delar alla koefficienter för ett polynom , eller alla koefficienter för ett polynom , med den induktiva hypotesen . I det första fallet delar den också upp alla koefficienter för polynomet . Genom principen om matematisk induktion är påståendet bevisat för alla värden och $sid$ $R$ $f(x)g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m))$ $n=\operatörsnamn {grad} f,m=\operatörsnamn {grad} g$ $m+n$ $m+n=0$ $m=0$ $n=0$ ${\displaystyle f(x)=a_{0},g(x)=b_{0))$ $sid$ $a_{0}b_{0}$ $R$ $sid$ $a_{0}$ $sid$ $b_{0}$ $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{ m}x^{n+m}$ $sid$ $R$ $f(x)g(x)$ ${\displaystyle p\mid a_{n}b_{m))$ $R$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ ${\displaystyle p\mid b_{m))$ ${\displaystyle p\mid a_{n))$ $n=0$ $sid$ $f(x)$ $n>0$ $sid$ $f_{1}(x)g(x)$ $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n- ett}$ $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ $en$ $sid$ $sid$ $f_1(x)$ $g(x)$ $sid$ $f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n}$ $m$ $n$

Låt oss bevisa det . Låt , , där , vara primitiva polynom. Sedan . Eftersom polynomet är primitivt av det bevisade, då . Lemmat är bevisat. ${\displaystyle c_{f}c_{f}=c_{fg))$ ${\displaystyle f=c_{f}f_{0))$ ${\displaystyle g=c_{g}g_{0))$ $f_0$ $g_{0}$ ${\displaystyle fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0))$ ${\displaystyle f_{0}g_{0))$ ${\displaystyle c_{fg}=c_{f}c_{g))$

Litteratur

Zarissky O., Samuel P., Kommutativ algebra, övers. från engelska, vol. 1, M.