Jacobians problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 februari 2020; kontroller kräver 4 redigeringar .

Det jakobiska problemet är ett problem om polynomens egenskaper i flera variabler.

Villkor

Betrakta en uppsättning polynom med komplexa koefficienter i variabler : ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$

f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (ett)

Antag att för vilken mängd som helst ekvationssystemet ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}

har en unik lösning och det finns sådana polynom ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N }]

att varje . Polynomen antas vara oberoende av uppsättningen av fria termer . Detta motsvarar det faktum att varje polynom från är unikt representerat som ett polynom från (och från ). System (1) definierar en polynomavbildning , under vilken $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...,g_{N))$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$ $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...f_{N))$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...g_{N))$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N))$

f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1} ,...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},... ,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)

Kartläggningen är en-till-en. Dessutom den omvända mappningen , som översätts till $f$ $f^{-1}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2} (b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2 },...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}

är också polynom.

Associera en godtycklig polynommappning av formen (2) med en kvadratisk matris (Jacobian of the mapping ) av storlek , där den partiella derivatan står på plats . Vi definierar en annan polynommappning och överväger deras sammansättning , vars Jacobi-matris är lika med $f$ $J(f)({\överlinje {X)))$ $N$ $(I j)$ $\partial f_{i}/\partial X_{J}$ $h:\mathbb {C} ^{N}\högerpil C^{N}$ $fh$

J(fh)({\överlinje {X)))=J(f)(h({\överlinje {X)))))J(h)({\överlinje {X))))

När vi beräknar bestämningsfaktorerna får vi det

\det(J(fh))({\överlinje {X)))=\det(J(f))(h({\överlinje {X))))\det(J(h))( {\överlinje {X)))

I synnerhet, om polynomavbildningar och ges , då är deras sammansättning identitetskartläggningen. Därför är identitetsmatrisen , då enheten går till determinanten, lika med produkten av polynom, därför är dessa polynom lika med konstanter, i synnerhet, $f$ $f^{{-1}}$ $E=J(f^{-1}f)({\överlinje {X)))=J(f^{-1})(f({\överlinje {X))))J(f) ({\överlinje {X)))$

\det(J(f))({\överlinje {X)))

är en konstant som inte är noll.

Formulering

Det jakobianska problemet består i att lösa det omvända problemet. Låt en polynomavbildning av formen (2) ges och vara en konstant som inte är noll. Är det sant att det finns en invers polynomavbildning? Är det möjligt att representera varje polynom i som ett polynom i ? $f$ $\det(J(f))$ $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

Resultat

Fram till 2022 var problemet löst för fallet när och grader inte är högre än 150, och även om några men graderna för alla polynom inte är högre än 2. [1] Dessutom, för att bevisa ett allmänt påstående, var det tillräckligt för att bevisa det för fallet när var och en är ett polynom med högst 3 [1] . $N=2$ $f_{1},f_{2}$ $N$ $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ $f_{i}$

Anteckningar

↑ 1 2 Kostrikin, "Introduktion till algebra", v.1, s. 259-260

Litteratur

V. A. Artamonov Om lösta och öppna problem i teorin om polynom // Soros Educational Journal , 2001, nr 3, sid. 110-113;