Utrymme av grundläggande funktioner

Grundfunktionernas utrymme är en struktur med hjälp av vilken utrymmet för generaliserade funktioner byggs upp (rummet för linjära funktionaler på utrymmet för grundläggande funktioner).

Generaliserade funktioner är av stor betydelse i matematisk fysik , och utrymmet för grundläggande funktioner används som grund för konstruktionen av generaliserade funktioner (formellt är detta domänen för motsvarande generaliserade funktioner). Differentialekvationer beaktas i den sk. svag mening , det vill säga vi betraktar inte en punktvis likhet, utan likheten mellan de motsvarande reguljära linjära funktionalerna på ett lämpligt utrymme av grundläggande funktioner. Se Sobolev utrymmen .

Vanligtvis väljs utrymmet för oändligt differentierbara funktioner med kompakt stöd (de så kallade finita funktionerna) som utrymmet för grundläggande funktioner , på vilket följande konvergens (och därmed topologin ) introduceras: ${\mathcal {D}}(\Omega )$ $C_{0}^{\infty }(\Omega )$

Sekvensen konvergerar till om: $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$

Funktionerna är enhetligt ändliga , det vill säga de är kompakta i och med . $u_{j}$ $\exists K$ $\Omega$ $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$
$\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ jämnt över . $x$

Här är ett avgränsat område i . $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$

För Fouriertransformfrågor används generaliserade funktioner för långsam tillväxt. För dem är Schwartz-klassen vald som den huvudsakliga - oändligt smidig på funktioner som minskar lika snabbare än någon grad tillsammans med alla deras derivator. Konvergens på den definieras enligt följande: sekvensen av funktioner konvergerar till if ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|x|\till \infty$ $|x|^{-k}$ $\phi _{1},\phi _{2},\dots$ $\phi ^{*}$

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)

jämnt över .

x

Valet av Schwartz-klassen för att konstruera Fourier-transformen på utrymmet av generaliserade funktioner bestäms av det faktum att Fourier-transformen är en automorfism på Schwartz-klassen.

Litteratur

MOT. Vladimirov . Generaliserade funktioner i matematisk fysik. - ed. 2:a. — M .: Nauka , 1979 . — 320 s.

Utrymme av grundläggande funktioner

Litteratur

Se även