Pfaffian

Pfaffian för en skevsymmetrisk matris är något polynom i dess element vars kvadrat är lika med determinanten för denna matris. Liksom determinanten är Pfaffian nonnoll endast för skevsymmetriska matriser av storlek , i vilket fall dess grad är n . $2n\ gånger 2n$

Exempel

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n} 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Definition

Låt beteckna mängden av alla partitioner i en uppsättning i oordnade par (det finns sådana partitioner totalt). Splittringen kan skrivas $\Pi$ $\{1,2,\dots ,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alpha \in \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

var och . Låta $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

betecknar motsvarande permutation och är tecknet på permutationen . Det är lätt att se att det inte beror på valet av . ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$ ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\pi$

Låt beteckna en skev-symmetrisk matris. För partitionering definierar vi $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\ gånger 2n$ $\alfa$

A_{\alpha }=\operatörsnamn {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Nu kan vi definiera Pfaffian för matrisen A som

\operatörsnamn {Pf}(A)=\summa _{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

Pfaffian för en skev-symmetrisk storleksmatris för udda n är noll per definition. $n\ gånger n$

Rekursiv definition

Pfaffian för storleksmatrisen antas vara 1; Pfaffian för en skevsymmetrisk matris A med storleken vid kan definieras rekursivt enligt följande: $0\ gånger 0$ $2n\ gånger 2n$ $n>0$

\operatorname {Pf} (A)=\summa _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\operatörsnamn {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

där indexet kan väljas godtyckligt, är Heaviside-funktionen , betecknar matrisen A utan de i -te och j -te kolumnerna och raderna. $i$ $\theta (ij)$ ${\displaystyle A_{{\hat {\imath )){\hat {\jmath ))))$

Alternativ definition

För en skevsymmetrisk matris , överväg en bivector : $2n\ gånger 2n$ $A=\{a_{{ij}}\}$

\omega =\sum _{{i<j}}a_{{ij}}\;e_{i}\wedge e_{j}.

var är standardbasen i . Då ges Pfaffian av följande ekvation: $\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{{2n}}\}$ ${\mathbb R}^{{2n))$

{\frac {1}{n!)}}\omega ^{{\wedge n}}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \ kil e_{{2n}},

där betecknar den yttre produkten av n kopior . $\omega ^{{\wedge n}}$ $\omega$

Egenskaper

För en skevsymmetrisk matris och för en godtycklig matris : $2n\ gånger 2n$ $A$ $2n\ gånger 2n$ $B$

${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

För en blockdiagonal matris

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf} }(A_{2}).

För en godtycklig matris : $n\ gånger n$ $M$

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\det M .

Historik

Termen "Pfaffian" introducerades av Cayley [1] och uppkallad efter den tyske matematikern Johann Friedrich Pfaff .

Anteckningar

↑ De tidigaste kända användningarna av några av matematikens ord . Hämtad 29 november 2009. Arkiverad från originalet 4 mars 2009. (obestämd)

Litteratur

Vyaly M. N. Pfaffians för uppräkningsproblem // Summer School "Modern Mathematics". – 2004.
Tröga M. N. Pfaffians eller konsten att placera skyltar ... // Matematisk utbildning . - 2005. - Nr 9 .