Vanligt primtal
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; verifiering kräver 1 redigering .I talteorin är ett regelbundet primtal varje primtal p för vilket antalet idealklasser i ett cirkulärt fält inte är delbart med p . Alla andra udda primtal kallas oregelbundna.
De första vanliga primtalstalen [1] :
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …Egenskaper
De vanliga talen är exakt Kummer-primtal, men detta är ganska svårt att bevisa. För att kontrollera om ett tal är Kummer kan det så kallade Kummer-kriteriet användas: p är Kummer om och endast om täljarna för alla Bernoulli-tal inte är delbara med p .
Det antas att det finns oändligt många regelbundna primtal, men detta påstående har inte bevisats.
Regelbundna siffror introducerades av Kummer [2] när han försökte bevisa Fermats teorem . En av de erhållna satserna, med hänsyn till sammanträffandet av regularitet och Kummer-egenskap, anger följande:
Om ett primtal p är regelbundet, har ekvationen för det inga lösningar i naturliga tal .
Oregelbunden prime
Ett primtal som inte är regelbundet kallas ett oregelbundet primtal . Några första oregelbundna primtal [3] :
37 , 59, 67, 101 , 103 , 131 , 149 , 157, 233, 257 , 263, 271, 283 , 293, …Jensen bevisade att det finns oändligt många oregelbundna primtal.
Oregelbundna par
Om p är ett oregelbundet primtal, så delar p utan återstod täljaren för Bernoullitalet B 2 k för något jämnt index 2 k i intervallet 0 < 2k < p −1 . I det här fallet kallas nummerparet (p, 2k) ett oregelbundet par . De första oregelbundna paren [4] :
(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …För ett givet primtal p kallas antalet sådana par för index för p :s oregelbundenhet . Således är ett primtal regelbundet om och endast om indexet för oregelbundenhet är noll. På samma sätt är ett primtal oregelbundet om och endast om dess oregelbundenhetsindex är positivt.
Det visar sig att för p < 30 000 är paret (p, p−3) oregelbundet endast för primtal Wolstenholm p = 16843 .
Anteckningar
Litteratur
- Postnikov M. M. Introduktion till teorin om algebraiska tal. — M .: Nauka, 1982.
- Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori. — M .: Nauka, 1985.
- Ernest Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x λ + y λ = z λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2) Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Matematik. - 1850. - Utgåva. 40 . - S. 131-138 .