Ricci soliton

Ricci-soliton är en lösning på Ricci-flödet där utrymmet inte förändras eller bara förändras genom att ändra skalan. Uppkallad efter Gregorio Ricci-Curbastro .

Einsteins grenrör är det enklaste exemplet på Ricci-solitoner, för vilka parametriseringen som erhålls från Ricci-flödet är konstant.

I allmänhet definierar Ritchie-flödet en enparameterfamilj av diffeomorfismer på ett grenrör som erhålls genom att integrera något vektorfält som uppfyller ekvationen $X$

\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},

var är Ricci-krökningens tensor och är Lie-derivatan . Om , då blir villkoret Einstein-villkoret $\operatörsnamn {Rc}$ $\mathcal{L}$ $X=0$

Typer

Om fältet är en gradient av någon funktion , så kallas solitonen gradient . I det här fallet tar ekvationen formen $X=\nabla f$ $f$ $\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,$

och själva funktionen kallas solitonpotentialen .

f

När soliton kallas stationär , i detta fall finns lösningen på hela den verkliga pramas och ändras inte geometriskt i tiden; endast parametriseringen av ett fast grenrör kan ändras. $\lambda =0$
När soliton drar ihop sig kan lösningen bestämmas på balken . $\lambda >0$ $(-\infty,0)$
När soliton expanderar kan lösningen bestämmas på balken . $\lambda <0$ $(0,\infty )$

Egenskaper

För varje kon över en sfär med en Riemannsk krökningsoperatormetrik, finns det en unik expanderande gradient Ricci soliton , sådan som konvergerar till Gromov-Housstroff vid . [ett] $C$ $\geq 1$ ${\displaystyle M^{t))$ ${\displaystyle M^{t))$ $C$ $t\to 0$

För varje gradientsoliton med potential , identiteten $f$ $2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,$

där betecknar Ricci-tensorn och är den skalära krökningen .

\mathrm {Rc}

{\mathrm {R}}

Exempel

Eulidiska rymden är en gradient Ricci soliton; potentialen kan vara vilken funktion som helst som är proportionell mot kvadraten på avståndet till den fixerade punkten; Beroende på valet av proportionalitetskoefficient kan man få en stationär, sammandragande och även expanderande soliton.
Plan med metrisk $\mathbb {R} ^{2}$ $ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}$

är en stationär gradientsoliton med potential . Detta är den så kallade Hamiltoncigarren .

f=-\ln(1+x^{2}+y^{2})

Anteckningar

↑ arXiv : 1502.07921

Litteratur

arXiv : 0908.2006
Chow, Bennett, Peng Lu och Lei Ni. Hamiltons Ricci-flöde. — American Mathematical Soc., 2006.