Ricci soliton
Ricci-soliton är en lösning på Ricci-flödet där utrymmet inte förändras eller bara förändras genom att ändra skalan. Uppkallad efter Gregorio Ricci-Curbastro .
Einsteins grenrör är det enklaste exemplet på Ricci-solitoner, för vilka parametriseringen som erhålls från Ricci-flödet är konstant.
I allmänhet definierar Ritchie-flödet en enparameterfamilj av diffeomorfismer på ett grenrör som erhålls genom att integrera något vektorfält som uppfyller ekvationen
var är Ricci-krökningens tensor och är Lie-derivatan . Om , då blir villkoret Einstein-villkoret
Typer
- Om fältet är en gradient av någon funktion , så kallas solitonen gradient . I det här fallet tar ekvationen formen
och själva funktionen kallas solitonpotentialen .
- När soliton kallas stationär , i detta fall finns lösningen på hela den verkliga pramas och ändras inte geometriskt i tiden; endast parametriseringen av ett fast grenrör kan ändras.
- När soliton drar ihop sig kan lösningen bestämmas på balken .
- När soliton expanderar kan lösningen bestämmas på balken .
Egenskaper
- För varje kon över en sfär med en Riemannsk krökningsoperatormetrik, finns det en unik expanderande gradient Ricci soliton , sådan som konvergerar till Gromov-Housstroff vid . [ett]
- För varje gradientsoliton med potential , identiteten
där betecknar
Ricci-tensorn och är den
skalära krökningen .
Exempel
- Eulidiska rymden är en gradient Ricci soliton; potentialen kan vara vilken funktion som helst som är proportionell mot kvadraten på avståndet till den fixerade punkten; Beroende på valet av proportionalitetskoefficient kan man få en stationär, sammandragande och även expanderande soliton.
- Plan med metrisk
är en stationär gradientsoliton med potential .
Detta är den så kallade Hamiltoncigarren .
Anteckningar
- ↑ arXiv : 1502.07921
Litteratur
- arXiv : 0908.2006
- Chow, Bennett, Peng Lu och Lei Ni. Hamiltons Ricci-flöde. — American Mathematical Soc., 2006.